Formula Sheet for Final Exam
BIZ500 · Management Statistical Analysis

기말 공식 시트 — 시험장 들고 갈 한 장

강의에서 다룬 공식·표·임계값을 시험 출제 범위 그대로 한 페이지에 모았습니다. 외울 게 아니라 흐름을 익히는 게 핵심이에요 — 식이 어디서 왔고 어떻게 연결되는지.

CHAPTER 01

기술 통계량 (Descriptive)

Population mean, variance, covariance, correlation

모평균

크기 \(N\)인 모집단 \(\{X_i\}\)에 대해:

\[ \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i \]

모분산 (두 가지 표현)

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i - \mu)^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i^2 - \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} X_i\right)^2 \]

두 번째 형태는 "제곱의 평균 − 평균의 제곱". 계산이 더 빠르고, 회귀에서 자주 나옵니다.

공분산

짝지어진 \((X_i, Y_i)\)에 대해:

\[ \text{Cov}[X, Y] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y) \]

상관계수

스케일을 없앤 표준화된 공분산:

\[ \text{Corr}[X, Y] = \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y} \]

\(-1 \le \rho_{XY} \le 1\). +1은 완전 정상관, −1은 완전 역상관, 0은 무상관.

CHAPTER 02

확률 규칙 (Probability Rules)

Complement · Addition · Conditional · Multiplication · Bayes · Independence

여집합 규칙 (Complement)
\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]
덧셈 규칙 (Addition)
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
조건부 확률 (Conditional)
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
곱셈 규칙 (Multiplication)
\[ P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A) \]
베이즈 정리 (Bayes)
\[ P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)} \]

분모가 "A가 일어날 모든 경로" 라는 점만 기억하면 외울 필요 없어요. 전확률 법칙 + 조건부 정의.
독립 (Independence)
\[ P(A \mid B) = P(A) \quad \text{또는} \quad P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

두 사건이 서로 영향 없음 ⇔ 결합확률이 곱으로 분리됨.

CHAPTER 03

기댓값·분산의 성질

Linearity, Var formula, Cov-Corr, Var-of-Sum

선형성

상수 \(a, b\)와 확률변수 \(X, Y\)에 대해:

\[ E[a + bX] = a + bE[X], \quad E[X + Y] = E[X] + E[Y] \]

분산의 정의·성질

\[ \text{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

\[ \text{Var}[a + bX] = b^2 \cdot \text{Var}[X] \]

상수 \(a\)는 분산에 영향 없음 (위치 이동만). 계수 \(b\)는 제곱이 되어 들어옵니다.

공분산–상관계수 관계

\[ \text{Cov}[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y], \quad \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}[X, Y]}{\sigma_X \sigma_Y} \]

합의 분산 (Variance-of-Sum)

기말 출제 단골

상수 \(a, b\)와 확률변수 \(X, Y\)에 대해:

\[ \text{Var}[aX + bY] = a^2 \text{Var}[X] + b^2 \text{Var}[Y] + 2ab \cdot \text{Cov}[X, Y] \]

\[ = a^2 \text{Var}[X] + b^2 \text{Var}[Y] + 2ab \cdot \sigma_X \sigma_Y \cdot \rho_{XY} \]

두 변수가 독립이면 \(\rho = 0\) → 마지막 항이 사라짐. 그래서 "독립일 때 합의 분산 = 분산의 합".

CHAPTER 04

정규분포의 표준화

Standardization to Z ~ N(0, 1²)

\(X\)가 평균 \(\mu\), 분산 \(\sigma^2\)인 정규분포를 따른다면:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \quad \Longrightarrow \quad Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1^2) \]

표준화하면 모든 정규분포가 표준 정규분포 \(N(0,1)\)로 환산되어, 한 장의 Z-table로 확률을 읽을 수 있습니다.

CHAPTER 05

임계 z값 (Critical z-values)

Single-tail and two-tail thresholds

임계값의 두 가지 정의:

\[ P(Z \le z_\alpha) = 1 - \alpha, \quad P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha \]

\(z_\alpha\) = 단측 검정에 / \(z_{\alpha/2}\) = 신뢰구간 + 양측 검정에 사용.

\(\alpha\)	\(1 - \alpha\)	\(z_\alpha\) (단측)	\(z_{\alpha/2}\) (양측·CI)
0.10	90%	1.28	1.65
0.05	95%	1.65	1.96
0.01	99%	2.33	2.58

암기 팁

95% 양측 = 1.96 / 99% 양측 = 2.58 두 개만 외워도 거의 다 풀려요. 단측은 양측의 한쪽 꼬리만 보니까 더 작은 임계값 사용.

CHAPTER 06

신뢰구간 (Confidence Interval)

For population mean μ — large sample (CLT) and known σ

신뢰수준 \(1 - \alpha\), 큰 표본 (CLT 적용 가능), 모표준편차 \(\sigma\) 알려졌을 때:

\[ P\!\left(\bar{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha \]

\(\sigma\)를 모르면 큰 표본에 한해 표본 표준편차 \(S\)로 근사 사용 가능.

읽는 법

표본평균 \(\bar{X}\) 중심으로 좌우 \(z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\)만큼 펼친 구간에 진짜 평균 \(\mu\)가 들어올 확률이 \(1 - \alpha\). 신뢰수준이 높을수록 구간은 넓어집니다.

CHAPTER 07

표본 평균의 표준오차 (SE)

SE of X̄, p̂, and X̄−Ȳ

표본 통계량	표본 크기	SE (σ 알려짐)	SE (σ 추정)	비고
\(\bar{X}\)	\(n\)	\(\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}\)	\(\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}\)	—
\(\hat{p}\)	\(n\)	\(\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\)	\(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)	—
\(\bar{X} - \bar{Y}\)	\(n_X, n_Y\)	\(\sqrt{\dfrac{\sigma_X^2}{n_X} + \dfrac{\sigma_Y^2}{n_Y}}\)	\(\sqrt{\dfrac{S_X^2}{n_X} + \dfrac{S_Y^2}{n_Y}}\)	독립 표본

짝지은 표본 주의

같은 사람에서 \(X\)와 \(Y\)를 둘 다 측정한 경우 (paired) 는 위 독립 공식 못 씀. 차이 \(D = X - Y\)를 만들어 한 표본 문제로 환원하고 \(\text{SE} = S_D / \sqrt{n}\) 사용.

CHAPTER 08

가설 검정 (Hypothesis Testing)

z-statistic, p-value, decision rule

가설 설정

예: \(\mu \ne 100\)임을 증명하고 싶다면:

\[ H_0 : \mu = 100, \quad H_1 : \mu \ne 100 \]

z-통계량

\(H_0\)가 참이라는 가정 하에 \(\bar{X}\)를 표준화:

\[ z = \frac{\bar{X} - \mu}{\text{SE of } \bar{X}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \simeq \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \]

p-값

관측된 \(\bar{X}\)보다 더 극단적인 값이 \(H_0\) 하에서 나올 확률.

검정 규칙

결정 룰

유의수준 \(\alpha\)에서: p-값 \(< \alpha\) 이면 \(H_0\) 기각.

또는 동치로: \(|z| > z_{\alpha/2}\) (양측) / \(z > z_\alpha\) (오른쪽 단측) / \(z < -z_\alpha\) (왼쪽 단측) 이면 기각.

CHAPTER 09

선형 회귀 (Linear Regression)

n: observations / k: explanatory variables

변동 분해 (Sum of Squares)

\[ \text{SST} = \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2 \quad \text{(Total)} \]

\[ \text{SSR} = \sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i - \bar{Y})^2 \quad \text{(Regression — explained)} \]

\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n}\hat{e}_i^2 \quad \text{(Error — unexplained)} \]

\[ \text{SSR} + \text{SSE} = \text{SST} \]

R² (결정계수)

\[ R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} \]

모형이 \(Y\)의 변동 중 몇 %를 설명하는지. 0 ~ 1 사이.

Adjusted R²

설명변수 개수에 페널티를 주는 보정:

\[ \bar{R}^2 = 1 - \frac{\text{SSE}/(n - k - 1)}{\text{SST}/(n - 1)} \]

변수를 늘려도 무조건 오르지 않음. 다중회귀 비교에 사용.

오차분산 추정

\[ \sigma_e^2 \simeq S_e^2 = \frac{\text{SSE}}{n - k - 1} = \frac{1}{n - k - 1}\sum_{i=1}^{n}\hat{e}_i^2 \]

잔차의 분산 추정. 분모 \(n - k - 1\)은 자유도 (estimated parameters \(k+1\)개 차감).

CHAPTER 10

표준 정규분포 누적확률표 (Z-table)

P(Z ≤ z) — left-tail probabilities

표는 왼쪽 꼬리 확률 \(P(Z \le z)\)를 줍니다. 행은 \(z\)의 소수 첫째 자리까지, 열은 둘째 자리.

예: \(P(Z \le 1.96) = 0.9750\) → 표에서 행 1.9, 열 0.06을 찾으면 0.9750.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.5	1.96 → 0.9750 / 2.58 → 0.9951 / 1.65 → 0.9505: 시험에서 가장 자주 쓰이는 행
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998

표 읽기 3가지 패턴

왼쪽 꼬리: 표 값 그대로. \(P(Z \le 1.96) = 0.9750\)
오른쪽 꼬리: 1 − 표 값. \(P(Z > 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.025\)
가운데 (양측): 2 × 표 값 − 1. \(P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 2 \times 0.9750 - 1 = 0.95\)

KEY TAKEAWAY

공식은 외우는 게 아니라 연결을 보는 것. CI도 H.T.도 모두 "표본 통계량 ± 임계값 × SE" 한 형태에서 출발하고, 회귀는 모든 변동을 SST = SSR + SSE 로 쪼개는 데서 시작합니다.