Introduction to Probability
확률의 세계 — 불확실한 내일을 다루는 언어
내일 비가 올까요? 복권이 당첨될까요?
세상은 "아마도"로 가득해요. 확률은
그 "아마도"에 숫자를 붙여주는 기술입니다.
여는 글 · "아마도"에 숫자 붙이기
아침에 집을 나서며 창밖을 봅니다. 하늘이 조금 흐려요. 우산을 챙길까, 말까?
이럴 때 우리는 머릿속으로 계산을 해요. "비 올 가능성, 글쎄 30%쯤?"
100% 확실한 건 세상에 거의 없어요. 대신 우리는 가능성의 크기를 재요. 그게 확률입니다.
먼저 표본공간과 사건을 배워요. "세상"과 "관심 영역"의 단어죠.
다음엔 확률의 기본 규칙. 더하기·빼기만 할 줄 알면 충분해요.
그리고 조건부 확률과 베이즈 정리. "이미 알고 있는 정보"를 다루는 법이에요.
마지막엔 독립을 만나요. 두 사건이 서로 영향이 있을까, 없을까?
확률은 왜 필요한가
확률이라 하면 수학 문제집을 떠올릴지도 몰라요. 하지만 우리는 매일 확률을 쓰고 있어요. 의식하지 못할 뿐이에요.
· 오늘 비가 올 확률은?
· 지하철이 3분 안에 도착할 확률은?
· 이 손님이 갤럭시를 고를 확률은?
· 사고 싶은 아디다스 운동화가 재고에 있을 확률은?
· 이번 달 보험금 청구액이 20억 원을 넘을 확률은?
일기예보로 비유해 볼까요.
"강수 확률 70%"라는 말, 어떻게 나왔을까요? 과거의 비슷한 날 수천 번을 모았을 때, 그중 70%에서 비가 내렸다는 뜻이에요.
확률은 무수한 경험을 한 숫자로 줄여주는 마법이에요.
세 가지 흥미로운 질문
오늘 수업은 세 가지 이야기로 문을 엽니다. 각각 확률의 다른 얼굴을 보여줘요.
홍콩 흡연 통계
"남자 흡연자일 확률?" vs. "남자라면 흡연할 확률?" 비슷해 보여도 완전히 달라요.
룰렛의 역사
지난 15번 결과를 봤다면, 다음엔 어떤 색에 걸어야 할까요? 과거가 미래를 알려줄까요?
검사 키트가 XYZ병을 99% 잡아낸대요. 그런데 건강한 사람 10%에게도 양성이 나온대요. 인구의 1%가 병에 걸렸다면, 양성 판정을 받은 사람이 실제 환자일 확률은?
확률은 단순한 계산이 아니에요.
의사결정의 언어입니다.
표본공간과 사건
확률을 배우려면 먼저 단어 세 개와 친해져야 해요. 결과(outcome), 표본공간(sample space), 사건(event).
동전을 한 번 던지면 "앞면"이나 "뒷면"이 나와요. 이 각각이 하나의 결과예요.
"이 세계에서 가능한 모든 일"을 한 자루에 담은 거예요. 교수님 말로는 "the World" 라고 부르기도 해요.
기호로는 그리스 문자 \(\Omega\) (오메가) 를 자주 써요. "전체 세계"라는 뜻으로 기억해요.
표본공간 안에서 "이런 결과들이 나오면 좋겠다"고 묶어놓은 집합이에요.
음식 주문으로 비유해 볼까요.
식당 메뉴판 전체가 표본공간이에요. 김치찌개, 된장찌개, 비빔밥… 모든 메뉴가 후보죠.
그중 "찌개류"라는 묶음이 사건이에요. 김치찌개나 된장찌개가 나오면 "찌개 사건"이 일어난 셈.
주사위로 보는 예시
| 실험 | 표본공간 |
|---|---|
| 주사위 1개 던지기 | {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| 주사위 2개 던지기 | {(1,1), (1,2), …, (6,6)} · 36개 |
| 주사위 2개의 합 | {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} |
사건 예시 모음
사건은 표본공간에서 조건에 맞는 결과만 골라내요.
· 주사위 짝수: \(A = \{2, 4, 6\}\)
· 두 주사위 합이 10 미만: \(A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
· 두 주사위 같은 눈: \(A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}\)
· 1부터 6까지 아무 수: \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) · 표본공간 전체
확률의 정의
확률은 사실 아주 단순한 생각에서 출발해요. 사건의 크기 ÷ 표본공간의 크기. 이게 전부예요.
피자 한 판 나누기로 비유해 볼까요.
피자 한 판이 표본공간이에요. 그중 페퍼로니가 얹힌 조각이 사건이라면, 그 확률은 "페퍼로니 조각 수 ÷ 전체 조각 수"예요.
조각이 많을수록 페퍼로니를 먹을 가능성이 커지죠.
(조금) 더 형식적인 정의
어떤 사건 \(A\)에 대해, 우리는 0과 1 사이의 숫자 \(P(A)\)를 붙여줘요. 이 숫자는 두 가지 뜻을 가져요.
의미 ①
"지금 한 번 해보면 A가 일어날 가능성." 50%면 반반이라는 느낌이죠.
의미 ②
"수없이 많이 반복하면 A가 일어나는 비율." 동전을 만 번 던지면 약 5천 번 앞면이에요.
예시로 풀어보기
주사위 한 번 굴리기. 짝수가 나올 확률은?
표본공간 \(= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
\(P(A) = 3/6 = 0.5 = 50\%\)
① 고전적(Classical): 주사위·동전처럼 결과가 똑같이 가능한 경우. "경우의 수" 계산.
② 경험적(Empirical): 데이터를 모아 비율을 잰 것. 일기예보의 "강수 확률 70%"가 이런 종류.
③ 주관적(Subjective): "그 팀이 우승할 것 같아, 80%." 개인의 믿음이나 판단.
집합 연산과 벤 다이어그램
사건은 집합이에요. 집합끼리는 섞거나 뺄 수 있죠. 이때 쓰는 단어가 세 개 있어요. 벤 다이어그램으로 보면 한눈에 와닿아요.
주사위 예시
설명을 위해 두 사건을 잡아볼게요.
\(B = \{\text{4 미만}\} = \{1, 2, 3\}\)
\(A^c = \{\text{홀수}\} = \{1, 3, 5\}\)
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}\) (둘 중 하나라도 속하면 포함)
\(A \cap B = \{2\}\) (양쪽 모두에 속해야 포함)
교실 비유가 쉬워요.
\(A\) = 안경 낀 학생 · \(B\) = 파란 옷 학생이라고 해봐요.
· \(A^c\) = 안경 안 낀 학생들
· \(A \cup B\) = 안경 썼거나 파란 옷이거나 (둘 중 하나)
· \(A \cap B\) = 안경 쓰고 파란 옷인 학생
확률의 기본 규칙
확률에는 지켜야 할 규칙이 있어요. 딱 세 가지. 이것만 알면 계산의 반은 끝난 셈이에요.
규칙 ① 전체 확률
표본공간 전체의 확률은 1 이에요. "무슨 일이든 하나는 반드시 일어난다" 는 뜻.
주사위를 굴리면 반드시 1~6 중 하나가 나와요.
\(P(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}) = 1 = 100\%\)
확률은 언제나 0 과 1 사이 값이에요. 0 이면 "절대 안 일어남", 1 이면 "반드시 일어남".
규칙 ② 여집합 규칙
\(A\)가 일어나거나, 일어나지 않거나. 세상엔 둘 뿐이에요. 그래서 둘을 더하면 1이죠.
비 올 확률로 비유해 볼까요.
"오늘 비 올 확률 30%"라면, "비 안 올 확률 70%"예요. 둘을 합치면 100%가 되니까요.
한쪽만 알아도 반대쪽은 자동으로 나와요.
규칙 ③ 덧셈 규칙
"\(A\) 또는 \(B\)"의 확률은 더하면 돼요. 단, 겹치는 부분 \((A \cap B)\)을 한 번 빼줘야 해요. 그렇지 않으면 두 번 세게 되거든요.
주사위에서 \(A=\{\text{짝수}\}\), \(B=\{\text{4 미만}\}\).
\(P(A) = 3/6\), \(P(B) = 3/6\), \(P(A \cap B) = P(\{2\}) = 1/6\)
\(P(A \cup B) = 3/6 + 3/6 - 1/6 =\) \(5/6\)
실제로 \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}\)이니 5개. 맞죠.
조건부 확률
"만약 이미 어떤 일이 일어났다면…" 이때 계산하는 확률이 조건부 확률이에요.
기호로는 \(P(A|B)\)라고 써요. 가운데 막대 "|" 는 "주어졌을 때" 라고 읽어요. 즉 "\(B\)가 주어졌을 때 \(A\)의 확률" 이에요.
"\(B\)가 일어났다고 알고 있어. 그럼 이제 \(A\)의 가능성은?"
순서 주의. \(P(A|B)\)와 \(P(B|A)\)는 다른 값이에요. "남자 중 흡연자" 와 "흡연자 중 남자" 가 다르듯이요.
직관: 세계가 줄어들어요.
\(B\)가 일어났다는 걸 알면, 원래 넓었던 표본공간이 \(B\) 안쪽으로 좁혀져요. 이제 \(B\)가 "새로운 세계"예요.
그 좁아진 세계에서 \(A\)의 크기 비율이 조건부 확률이에요.
주사위 예시로 풀어봐요
Q1. 주사위를 굴려서 2가 나올 확률은? → \(1/6\) (세계가 \(\{1,\ldots,6\}\), 그중 한 가지)
Q2. 짝수가 나올 확률은? → \(3/6 = 1/2\)
Q3. 짝수라는 걸 알 때, 2가 나올 확률은? → \(1/3\)
왜 Q3에서 \(1/3\)일까요? "짝수"라는 사실을 알았으니, 세계가 \(\{2, 4, 6\}\)으로 줄었어요. 그중 2는 하나. 그래서 \(1/3\).
\(P(A \cap B) = P(\text{2 and 짝수}) = 1/6\)
\(P(B) = P(\text{짝수}) = 3/6\)
\(P(A|B) = (1/6) / (3/6) = 1/3\) ✓
홍콩 흡연 이야기 다시 보기
문을 여는 질문 기억나요? 이제 답을 구할 수 있어요.
| 성별 | 흡연 | 비흡연 | 합계 |
|---|---|---|---|
| 남성 | 12 % | 35 % | 47 % |
| 여성 | 3 % | 50 % | 53 % |
| 합계 | 15 % | 85 % | 100 % |
Q1. 길에서 본 사람이 남자이면서 흡연자일 확률?
→ 표 안 숫자 그대로. 12 %
Q2. 남자라면 흡연자일 확률? (세계 = 남자)
→ \(12/47 \approx\) 25.5%
Q3. 흡연자를 봤다면 남자일 확률? (세계 = 흡연자)
→ \(12/15 =\) 80%
세 질문의 답이 모두 달라요. "조건"이 무엇인지에 따라 세계가 다르게 줄어들기 때문이에요.
곱셈 법칙과 트리
조건부 확률 공식을 뒤집으면 재미있는 식이 나와요. 양변에 \(P(B)\)를 곱해주면 끝.
"A와 B가 둘 다 일어날 확률"을 구할 때 씁니다. 두 단계 사건으로 나눠 생각하면 편해요.
비 오는 날 버스 이야기.
오늘 비 올 확률 \(P(\text{비}) = 0.4\). 비 오는 날 버스가 늦을 확률 \(P(\text{늦음}|\text{비}) = 0.7\).
그럼 "비도 오고 버스도 늦을" 확률은?
\(0.4 \times 0.7 = 0.28 =\) 28%
확률 트리로 그려볼까요
가지가 갈라지는 나무를 그려요. 각 가지에 확률을 적고, 끝까지 곱해 내려가요.
동전을 두 번 던지면 결과는 네 가지. 각각의 확률은 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)이에요. 네 개 더하면 1이 되죠.
베이즈 정리
가끔 우리는 알고 있는 방향과 반대 방향의 조건부 확률이 궁금해요. 이럴 때 쓰는 게 베이즈 정리예요.
예를 들어볼까요.
"환자라면 양성 판정 확률"은 알고 있어요 (\(P(\text{양성}|\text{환자})\)).
그런데 진짜 궁금한 건 반대예요. "양성이라면 진짜 환자일 확률" (\(P(\text{환자}|\text{양성})\))
베이즈 정리는 이 둘을 이어주는 다리예요.
전체 확률 공식 (Law of Total Probability)
먼저 알아둘 게 있어요. 사건 \(A\)가 일어나는 경로는 두 가지. \(B\)가 일어날 때 \(A\)가 일어나거나, \(B\)가 안 일어날 때 \(A\)가 일어나거나.
베이즈 공식
이제 조건부 확률의 정의를 대입하면 베이즈 정리가 나와요.
이미 아는 방향의 조건부 확률들을 재료로, 반대 방향의 조건부 확률을 만들어내는 공식.
탐정 비유가 딱이에요.
범인이면 현장에 흔적을 남길 확률은 쉽게 알 수 있어요. 하지만 탐정이 진짜 궁금한 건 반대예요.
"이 흔적이 발견됐을 때, 저 사람이 범인일 확률." 베이즈는 이걸 계산해주는 도구입니다.
공식을 다시 천천히
기호가 많아 어렵게 느껴져요. 한 줄씩 읽어봐요.
분자: \(P(A|B) \times P(B)\) — "\(B\)부터 시작해 \(A\)로 가는 경로" 의 확률.
분모: \(P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|B^c) \cdot P(B^c)\) — "\(A\)에 도달하는 모든 경로" 의 합.
결과: 전체 \(A\) 경로 중 \(B\)를 거친 비율 → 그게 \(P(B|A)\).
다음 장의 Covid 검사 예제에서 이 공식을 숫자로 실감하게 됩니다.
독립 사건
두 사건이 서로의 확률에 영향을 안 주면 그 둘은 독립이에요. 말은 어렵지만 느낌은 단순해요.
질문으로 시작해요
Q1. 두 번째 동전이 앞면일 확률은?
Q2. 첫 번째가 앞면이었어요. 이제 두 번째도 앞면일 확률은?
Q3. 두 답은 같을까, 다를까?
답은 "같다"예요. 모두 \(1/2\). 첫 번째 결과가 두 번째 동전의 "기억"에 남지 않거든요. 동전은 과거를 모릅니다.
룰렛의 함정을 기억해요.
문을 열 때 물었던 질문 - "지난 15번 중 빨강이 많이 나왔으니 다음엔 검정에 걸어야 할까?"
답은 아니오예요. 룰렛 한 번 한 번은 서로 독립. 과거 기록은 미래에 아무 정보도 주지 못해요.
이런 착각을 도박사의 오류(Gambler's Fallacy)라고 해요.
독립의 두 가지 정의
수학적으로는 두 방식으로 쓸 수 있어요. 같은 말이에요.
정의 ①
조건부 확률로 표현해요.
"B를 알아도 A의 확률은 안 변해요."
정의 ②
교집합 확률로 표현해요.
"함께 일어날 확률이 그냥 곱이에요."
독립이란,
사건 \(A\)가 사건 \(B\)에 대해 어떤 정보도 담지 않는 것.
독립 vs. 비독립 · 두 학생의 위치
학생 \(A\)와 \(B\)가 각각 도서관(L), 집(H), 식당(R) 세 곳 중 하나에 있어요. 두 학생의 위치가 독립일 수도, 아닐 수도 있어요.
\(P(B \text{가 } R) = 50\%\), \(P(B \text{가 } R \mid A \text{가 } R) = 50\%\).
\(A\)를 알아도 \(B\)의 확률은 그대로. 두 위치는 독립이에요.
이번엔 네 결과의 조합이 달라요. LH, HL, HR, RH 만 가능한 구조죠.
\(P(B \text{가 } R \mid A \text{가 } R)\)을 따져 보면 \(0\%\). \(A\)가 \(R\)에 있으면 \(B\)는 \(R\)에 없어야 하거든요.
\(A\)를 알면 \(B\)의 확률이 확 바뀌어요. 두 위치는 독립이 아니에요.
다음 장에서 이 독립·종속의 차이를 격자 그림으로 더 선명하게 볼 거예요. 면적의 곱이 교집합이 되는 순간이 곧 독립이에요.
Covid 검사 이야기
이 장은 조건부 확률이 실제 세상에서 얼마나 중요한지 보여주는 사례예요. 코로나 검사 키트를 예로 들어봐요.
두 가지 정확도 개념
Sensitivity · 민감도
실제 환자일 때 검사가 양성이라 맞출 확률.
\(P(\text{양성} \mid \text{환자})\)
Specificity · 특이도
실제 건강할 때 검사가 음성이라 맞출 확률.
\(P(\text{음성} \mid \text{건강})\)
PPV · 양성 예측도
양성 판정을 받았을 때 진짜 환자일 확률.
\(P(\text{환자} \mid \text{양성})\)
NPV · 음성 예측도
음성 판정을 받았을 때 진짜 건강할 확률.
\(P(\text{건강} \mid \text{음성})\)
민감도·특이도는 "실제 상태가 주어졌을 때"의 확률.
PPV·NPV는 "검사 결과가 주어졌을 때"의 확률.
베이즈 정리가 둘 사이를 이어줘요.
문제 속으로 · XYZ 검사 키트
수업 앞부분에서 나왔던 이야기예요.
· 민감도: 99% (환자면 양성 확률 99%)
· 건강한 사람 중 10%는 양성 (위양성 10%)
물음: "양성이 나왔어요. 진짜 환자일 확률은?" 직관적으론 99% 같죠. 하지만 아니에요.
2×2 분할표로 풀어볼까요
10,000명이 검사를 받았다고 상상해요.
\(P(\text{환자} \mid \text{양성}) = 99/1{,}089 \approx\) 9.1%
양성이 나와도 실제 환자일 확률은 10%에 불과해요. 90%는 건강한데 억울하게 양성이 나온 사람(위양성).
왜 이런 결과가 나올까요?
병이 드물기 때문이에요. 100명 중 1명만 환자니까, 건강한 9,900명 중 10%(990명)가 위양성이라도 숫자상으로 압도적이에요.
드문 병은 검사가 아무리 좋아도 양성을 100% 믿기 어려워요. 보통 2차 검사를 하는 이유죠.
한 번 더 · 셋 중 한 명
양성 판정을 받은 사람 세 명이 있어요. 그중 적어도 한 명이 진짜 환자일 확률은?
적어도 한 명은 환자일 확률 \(= 1 - 0.751\)
\(\approx 24.9\%\)
여집합 규칙을 활용했어요. "적어도 하나"는 "하나도 없음"의 반대니까요.
독립의 시각적 직관
앞 장에서 독립을 배웠어요. 식 \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) 가 핵심이었죠.
이번엔 같은 이야기를 그림으로 봅니다. 확률 공간을 격자로 나누고, 사건 \(A\)와 \(B\)의 겹친 면적 비율이 어떻게 보이는지 비교해요.
핵심 아이디어 한 줄.
전체 격자에서 \(A\)가 차지하는 띠와, \(B\)가 차지하는 띠가 있어요. 두 띠가 교차하는 작은 사각형이 \(A \cap B\)예요.
그 작은 사각형 넓이가 두 띠의 넓이를 그냥 곱한 값과 같으면 독립. 다르면 종속이에요.
"\(A\) 안에 있으면서 동시에 \(B\) 안에도 있는" 결과들의 모임이 \(A \cap B\)예요. 이 영역의 크기가 곧 \(P(A \cap B)\).
Case 1 · 독립 (Independent)
먼저 독립인 경우를 봐요. 전체를 가로 세로 격자로 나눕니다. 가로는 \(A\)의 영역 (파란 띠), 세로는 \(B\)의 영역 (빨간 띠).
\(P(A) = 0.40\), \(P(B) = 0.50\)
그림에서 읽은 교집합 면적: 0.20
공식으로 계산: \(P(A) \cdot P(B) = 0.40 \times 0.50 =\) 0.20 ✓
두 값이 똑같아요. 그래서 \(A\)와 \(B\)는 독립이에요.
독립일 땐 격자가 깔끔하게 가로\(\times\)세로로 나뉘어요. \(A\)의 세로띠와 \(B\)의 가로띠가 만나는 작은 사각형이 자동으로 "두 비율의 곱"이 됩니다.
Case 2 · 종속 (Not Independent)
이번엔 같은 \(P(A) = 0.40\), \(P(B) = 0.50\)인데, 교집합이 곱과 다른 경우예요.
\(P(A) = 0.40\), \(P(B) = 0.50\) (같음)
그림에서 읽은 교집합 면적: 0.35
공식으로 계산: \(P(A) \cdot P(B) = 0.40 \times 0.50 =\) 0.20
\(0.35 \ne 0.20\). 두 값이 달라요. 그래서 \(A\)와 \(B\)는 독립이 아니에요.
Case 2에서는 \(A\)가 주로 \(B\) 안에 몰려 있어요. "\(A\)에 속하면 \(B\)일 가능성이 특히 크다"는 뜻. \(A\)가 \(B\)에 대해 정보를 흘리고 있는 거죠.
기하로 보는 공식의 의미
교과서의 식 \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)가 낯설게 느껴질 수 있어요. 하지만 그림으로 보면 당연해 보입니다.
전체 넓이를 1로 놓고 \(A\)가 가로 40%, \(B\)가 세로 50%를 차지한다고 해봐요.
두 띠가 서로 상관없이 겹치면, 교차하는 사각형 넓이는 자동으로 \(0.4 \times 0.5 = 0.20\).
이게 바로 "두 비율의 곱"이에요. 공식이 그림을 따라가는 거죠.
천에 붓질 비유.
흰 천 위에 파란 붓을 가로로 40% 칠하고, 빨간 붓을 세로로 50% 칠해요. 두 붓이 서로 눈치 안 보고 칠했다면, 보라색이 나온 영역은 \(0.4 \times 0.5 = 20\%\).
반대로 빨간 붓이 파란 칠 위만 노리고 칠했다면, 보라색 영역이 더 커지거나 작아져요. 그게 종속이에요.
독립·종속 · 한눈에 비교
| 항목 | Case 1 · 독립 | Case 2 · 종속 |
|---|---|---|
| \(P(A)\) | 0.40 | 0.40 |
| \(P(B)\) | 0.50 | 0.50 |
| \(P(A) \cdot P(B)\) | 0.20 | 0.20 |
| 실제 \(P(A \cap B)\) | 0.20 | 0.35 |
| 곱과 일치? | 예 (독립) | 아니오 (종속) |
| \(P(B \mid A)\) | \(0.50 = P(B)\) | \(0.875 \ne P(B)\) |
표의 마지막 줄이 특히 중요해요. 독립이면 조건부 확률이 원래 확률과 같아요. 종속이면 확 달라져요. \(A\)를 알았을 때 \(B\)의 확률이 바뀌는 정도가 종속의 강도예요.
맺는 글
확률의 세계에 첫 발을 디뎠어요. 처음엔 낯설었지만, 이제 조금은 친숙하죠?
오늘의 장면 요약
- 확률 = "가능성"에 0~1 사이 숫자를 붙이기
- 표본공간 = 전체 세계 · 사건 = 관심 집합
- 기본 규칙 셋: 전체=1 · 여집합 · 덧셈
- 합집합 계산 시 교집합은 한 번만
- 조건부 확률 = 좁아진 세계의 비율
- 곱셈 법칙: \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)\)
- 베이즈: 원인과 결과의 방향을 뒤집는 공식
- 독립 = 서로 정보를 주지 않음
- Covid 검사: 드문 병은 양성이어도 안심 못 해요
- 독립의 그림: 격자의 곱이 곧 교집합 넓이
다음 주 예고
오늘은 확률의 기본 문법을 배웠어요. 다음 주엔 이산 확률분포를 만나요.
주사위, 동전 같은 "딱 떨어지는" 사건들의 세계. 기댓값, 분산, 그리고 이항분포까지 함께해요.
오늘의 마음가짐
확률은 수학이 아니라 세상을 읽는 언어예요.
"아마도"에 숫자를 붙이는 순간, 세상이 조금 더 선명해져요.
— 3강, 마침 —