4강 · 이산 확률분포 | 통계 학습 노트

PROLOGUE

여는 글 · 가능한 결과를 한 상에 차리다

확률분포란 뭘까

주사위 하나를 던져요. 나올 수 있는 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6. 각각의 확률은 1/6씩이에요.

이 "값과 확률의 짝"을 한 표로 정리한 것. 그게 바로 확률분포예요. 모든 가능한 미래를 한눈에 보는 지도죠.

지난 3강에서는 확률 "하나"를 계산했어요. 오늘은 모든 경우의 확률을 한 번에 다뤄요. 통계가 주는 가장 큰 선물이에요.

오늘의 약속

주사위·동전·복권. 친숙한 예로 출발합니다. 공식은 항상 이야기 뒤에 따라와요. 겁먹지 않아도 괜찮아요.

CHAPTER 01

확률변수 — 숫자가 된 결과

Random Variable

먼저 낯선 이름부터 풀어요. 확률변수라는 말, 처음 듣기엔 어렵죠. 그런데 정체는 단순합니다.

Random Variable · 확률변수

결과를 숫자로 바꾸는 규칙

실험의 결과 하나하나에 숫자 하나를 붙여주는 함수예요. 기호는 보통 대문자 \(X\)로 써요.

동전 던지기로 볼까요.

· 결과: 앞면 · 뒷면 (말)
· 확률변수 \(X\): 앞면 → 1 · 뒷면 → 0 (숫자)

"말"이었던 결과가 "숫자"가 됐어요. 그러면 더하고, 평균 내고, 비교할 수 있죠.

두 종류의 확률변수

변수처럼 확률변수도 두 형제가 있어요. 변수 챕터의 기억을 살려주세요.

이산 Discrete

셀 수 있는 값

값이 톡톡 떨어져 있어요. 주사위 눈, 전화 수신 건수, 불량품 개수처럼요.

0, 1, 2, 3, …
값과 값 사이가 비어 있음

연속 Continuous

잴 수 있는 값

값이 실선처럼 이어져요. 키, 시간, 무게. 이론상 소수점 끝이 없어요.

170.3cm · 170.35cm · …
값 사이가 다 채워짐

오늘의 집중 대상

이번 강의는 이산에 집중해요. 연속 확률변수는 다음 강의(정규분포)에서 만나요.

KEY TAKEAWAY

확률변수 = 결과에 숫자를 붙이는 규칙. 이산은 세는 것, 연속은 재는 것.

CHAPTER 02

이산 확률분포 — 값과 확률의 짝

Probability Distribution Table

확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 모든 값에 그에 대응하는 확률을 붙이면 확률분포가 돼요. 표로 그리면 가장 잘 보여요.

Probability Distribution · 확률분포

모든 가능한 값 × 그 확률

이산 확률변수의 경우 표 하나로 담을 수 있어요. 각 확률은 0과 1 사이. 다 더하면 반드시 1이 돼요.

앞으로 자주 보게 될 기호 하나. \(P(X = x)\)는 "확률변수 \(X\)가 어떤 구체적인 값 \(x\)를 가질 확률"이에요. 큰 \(X\)는 변수, 작은 \(x\)는 그 변수가 가진 값이라고 생각하세요.

예시 · 주사위 하나

공정한 주사위의 확률분포
\(X\) (눈)	1	2	3	4	5	6	합
\(P(X)\)	\(1/6\)	\(1/6\)	\(1/6\)	\(1/6\)	\(1/6\)	\(1/6\)	1

확률분포의 두 약속

① 각 확률 \(P(X=x)\)는 0과 1 사이.
② 모든 확률의 합은 1이에요.

예시 · 두 자녀의 딸 수

한 가정에 아이가 둘. 딸의 수를 \(X\)라고 해요. \(X\)는 0, 1, 2 중 하나.

(아들, 아들) → \(X=0\) · 확률 \(1/4\)
(아들, 딸) · (딸, 아들) → \(X=1\) · 확률 \(2/4\)
(딸, 딸) → \(X=2\) · 확률 \(1/4\)

두 자녀의 딸 수 · 확률분포
\(X\)	\(P(X)\)
0	0.25
1	0.50
2	0.25
합	1.00

확률분포 시각화 · 막대로 보기

\(X=1\)(딸 한 명)이 가장 흔한 결과예요.

확률분포는 가능한 모든 미래의 지도예요.
숫자와 무게가 한 상에 차려져 있어요.

KEY TAKEAWAY

값과 확률의 짝 · 합은 1. 한 표가 곧 한 이야기다.

CHAPTER 03

기댓값과 분산 — 분포를 숫자 둘로

Expected Value & Variance

확률분포 전체를 한두 개의 숫자로 요약하고 싶어요. 이때 쓰는 게 기댓값과 분산이에요. 분포의 중심과 퍼짐을 말해주는 친구들이죠.

기댓값 \(E(X)\)

Expected Value · 기댓값

평균적으로 얼마가 나올까

값 \(\times\) 확률의 합. 여러 번 실험했을 때 평균적으로 얻게 될 값이에요. 기호는 \(E(X)\) 또는 \(\mu\).

\[ E(X) = \mu = \sum x \cdot P(X=x) \]

\(\Sigma\)(시그마)는 "모두 더하라"는 뜻이에요. 값 \(x\)마다 "\(x\)와 그 확률을 곱한 뒤, 전부 더해요". 그게 기댓값이에요.

복권 한 장으로 기댓값 감 잡기.

5,000원에 산 복권. 1등 1억원(확률 0.00001), 꽝(확률 0.99999).

\(E(X) = 100{,}000{,}000 \times 0.00001 + 0 \times 0.99999 =\) 1,000원.

5,000원 내고 평균 1,000원 받는 게임이에요. 길게 보면 손해죠.

분산 \(\text{Var}(X)\)

Variance · 분산

얼마나 출렁일까

결과가 평균 \(\mu\)에서 얼마나 흩어져 있는지를 재는 숫자예요. 큰 값일수록 결과가 들쑥날쑥해요.

\[ \text{Var}(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(X=x) \]

식을 풀면 이래요. 각 값 \(x\)에서 평균 \(\mu\)를 뺀 편차를 제곱하고, 그 확률을 곱한 뒤, 모두 더해요.

왜 제곱할까? 편차는 양수·음수가 섞여 있어 그냥 더하면 0에 가까워져요. 제곱하면 모두 양수가 되니 "얼마나 떨어져 있는지"가 살아나요.

분산에 루트를 씌우면 표준편차 \(\sigma\). 분산은 제곱 단위라 감이 안 오니까 루트를 씌워 원래 단위로 맞추는 거예요.

\[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \]

계산 예시 · 두 자녀의 딸 수

\(E(X)\)와 \(\text{Var}(X)\) 계산 과정
\(X\)	\(P(X)\)	\(X \cdot P(X)\)	\((X-\mu)^2\)	\((X-\mu)^2 \cdot P(X)\)
0	0.25	0.00	1	0.25
1	0.50	0.50	0	0.00
2	0.25	0.50	1	0.25
합	1.00	1.00		0.50

읽어낸 이야기

\(E(X) =\) 1.00 — 두 자녀 중 평균 1명이 딸.
\(\text{Var}(X) =\) 0.50 — \(\sigma \approx 0.71\)명만큼 흔들려요.

한 줄 정리

기댓값 = 분포의 중심. 분산 = 분포의 폭. 이 둘만 있으면 분포의 얼굴이 그려져요.

KEY TAKEAWAY

\(E(X)\)로 중심을, \(\text{Var}(X)\)로 퍼짐을. 분포는 숫자 둘로 말한다.

CHAPTER 04

Bernoulli 분포 — 한 번의 성공/실패

가장 단순한 확률분포

세상의 많은 일이 "성공이냐, 실패냐" 둘 중 하나예요. 동전의 앞/뒤, 시험의 합격/불합격, 광고 클릭/무시. 이런 단 한 번의 시행을 모델로 만든 게 Bernoulli 분포예요.

Bernoulli Distribution · 베르누이 분포

시도 1번, 결과 2가지

확률변수 \(X\)는 1(성공) 또는 0(실패). 성공 확률을 \(p\)라 하면 실패는 \(1-p\).

\[ P(X=1) = p \quad\cdot\quad P(X=0) = 1 - p \]

기댓값과 분산

공식 유도는 간단해요. 위의 표에 기댓값·분산 공식을 그대로 적용하면 돼요.

\[ E(X) = p \quad\cdot\quad \text{Var}(X) = p(1 - p) \]

동전 던지기로 확인해 볼까요.

공정한 동전이면 \(p = 0.5\).
\(E(X) = 0.5\) · \(\text{Var}(X) = 0.5 \times 0.5 = 0.25\).

한 번 던졌을 때 "앞면 개수"의 평균이 0.5. 당연하죠 — 두 번 중 한 번은 앞면.

왜 중요할까

Bernoulli는 통계의 원자예요. 이걸 여러 번 반복하면 다음 장의 Binomial 분포가 돼요. 하나만 알아도 여러 개를 알 수 있어요.

분산이 가장 큰 순간은?

\(\text{Var}(X) = p(1-p)\). \(p\)가 0이나 1에 가까우면 분산이 작아요. 결과가 거의 정해져 있으니까요. \(p = 0.5\)일 때 가장 출렁여요.

베르누이 분산 곡선

\(p=0.5\)일 때 분산이 최대(0.25). 불확실성이 제일 커요.

KEY TAKEAWAY

단 한 번의 시도 · 성공 \(p\) · 실패 \(1-p\). 모든 통계의 시작 원자.

CHAPTER 05

Binomial 분포 — 여러 번의 성공

Bernoulli를 n번 반복하면

Bernoulli 시행을 \(n\)번 반복해요. 매번 성공 확률은 같은 \(p\). 서로 독립. "성공 횟수"를 세면 이게 이항(Binomial) 분포예요.

Binomial Distribution · 이항분포

\(n\)번 던져서 몇 번 성공?

조건 세 가지: ① 시행은 \(n\)번 · ② 매번 성공 확률은 \(p\)로 같음 · ③ 시행끼리 독립. 기호는 \(X \sim B(n, p)\).

확률 공식

\[ P(X = k) = C(n, k) \\ \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k} \]

공식이 갑자기 무섭죠. 기호부터 짚고 갈게요.

\(n\)은 전체 시도 횟수. \(k\)는 그 중 성공 횟수. \(p\)는 한 번 시도했을 때의 성공 확률이에요.

이제 우변을 세 조각으로 쪼개면 덜 무서워져요.

\(C(n, k)\)

경우의 수

\(n\)번 중 \(k\)번 성공하는 순서가 몇 가지인지. \({}_nC_k\)로도 써요.

\(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)

한 가지 순서의 확률

성공 \(k\)번과 실패 \((n-k)\)번이 함께 일어날 확률. 독립이니까 그냥 곱해요.

\(C(n, k)\) 계산법

\(C(n, k) = n! / [k! \cdot (n-k)!]\)
예) \(C(5, 2) = 120 / (2 \times 6) =\) 10. 5번 시도 중 2번 성공할 순서가 10가지란 뜻이에요.

예시 · 영업 전화 5통

각 전화의 성공률이 0.2. 5통 중 정확히 2건을 성공시킬 확률은?

\(n = 5\) · \(p = 0.2\) · \(k = 2\)
\(P(X=2) = C(5, 2) \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^3\)
\(= 10 \times 0.04 \times 0.512 =\) 0.2048

답

5통 중 2건 성공할 확률은 약 20.5%예요. \(n\)과 \(p\)만 있으면 어떤 \(k\)에 대해서도 확률을 구할 수 있어요.

기댓값과 분산

공식은 놀랍도록 간단해요. Bernoulli 한 번의 공식에 \(n\)을 곱하면 끝.

\[ E(X) = n \cdot p \quad\cdot\quad \text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \]

감 잡기. 성공률 20%로 100통 걸면?

\(E(X) = 100 \times 0.2 =\) 20통. \(\sigma = \sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8} \approx\) 4통.

평균 20건쯤 성공. 보통 16~24 사이에 떨어져요.

KEY TAKEAWAY

이항 = 베르누이 \(n\)번. \(E(X)=np\) · \(\text{Var}(X)=np(1-p)\). 외우면 반은 끝.

CHAPTER 06

이항분포의 모양 — \(p\)가 바꾸는 풍경

Shape of the Binomial

이항분포는 \(n\)과 \(p\)에 따라 모습이 달라져요. 같은 \(n\)이어도 \(p\)가 바뀌면 봉우리가 이동해요. 그림 세 장으로 한눈에 비교해볼게요.

\(n = 10\) · \(p\)를 바꿔보면

① \(p = 0.3\) · 오른쪽 꼬리형

\(p\)가 작으니 봉우리가 왼쪽에. 큰 \(k\)는 거의 안 나와요.

② \(p = 0.5\) · 좌우 대칭

\(p=0.5\)면 완벽한 대칭. 가운데(\(k=5\))가 가장 흔해요.

③ \(p = 0.7\) · 왼쪽 꼬리형

\(p\)가 크니 봉우리가 오른쪽으로. \(p=0.3\)의 거울이에요.

세 그림을 한 줄로

\(p\)가 작으면 왼쪽 · \(p=0.5\)면 대칭 · \(p\)가 크면 오른쪽. \(p=0.3\)과 \(p=0.7\)은 서로 거울 이미지예요. 봉우리 위치 = 기댓값 \(np\)를 따라가요.

\(n\)이 커지면?

\(n\)이 커질수록 분포는 부드러운 종 모양에 가까워져요. 이게 다음 강의에서 만날 정규분포로 이어지는 다리예요. "세는 분포"가 "재는 분포"와 만나는 지점이죠.

KEY TAKEAWAY

이항의 얼굴은 \(p\)가 결정. \(n\)이 크면 종 모양으로 진화한다.

CHAPTER 07

공분산 — 두 변수가 함께 움직이는 방향

Covariance

지금까지는 확률변수 하나를 다뤘어요. 이제 변수가 둘일 때의 이야기. \(X\)와 \(Y\)가 같이 움직이는지, 따로 움직이는지를 재는 숫자가 공분산이에요.

Covariance · 공분산

둘이 함께 움직이는 방향

\(X\)가 평균보다 크면 \(Y\)도 큰가? 같은 방향이면 양수, 반대 방향이면 음수, 관련이 없으면 0에 가까워요.

\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] \]

공식을 풀어보면 "각 개체의 (\(X\) 편차) \(\times\) (\(Y\) 편차)의 평균"이에요.

둘 다 평균보다 크거나 둘 다 작으면 편차의 곱은 양수. 한쪽만 크고 다른 쪽이 작으면 음수. 이 곱들의 평균이 공분산이에요.

계산 공식 (자주 쓰여요)

\(\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]\).

실제 계산할 땐 이 꼴이 훨씬 빨라요. 각각의 기댓값만 구하면 되니까요.

\(\text{Cov} > 0\)

같이 오르내림

\(X \uparrow\) 일 때 \(Y \uparrow\), \(X \downarrow\) 일 때 \(Y \downarrow\). 기온과 아이스크림 판매량처럼요.

\(\text{Cov} < 0\)

반대로 움직임

\(X \uparrow\) 일 때 \(Y \downarrow\). 기온과 핫팩 판매량처럼요.

공분산의 세 풍경

아이스크림 가게 이야기.

· 기온(\(X\))과 아이스크림 판매량(\(Y\)): 같이 올라요. \(\text{Cov}(X,Y) > 0\).
· 기온(\(X\))과 핫초코 판매량(\(Y\)): 반대로 가요. \(\text{Cov}(X,Y) < 0\).
· 기온(\(X\))과 볼펜 판매량(\(Y\)): 뭐… 상관없어요. \(\text{Cov}(X,Y) \approx 0\).

공분산의 단점

공분산은 크기가 단위에 휘둘려요. 키를 cm로 재면 값이 크고, m로 재면 값이 작아져요. 같은 관계인데 숫자가 달라지죠. 그래서 다음 장의 상관계수가 필요해요.

KEY TAKEAWAY

부호(+/−)는 방향. 크기는 단위에 휘둘림. 방향만큼은 정확하다.

CHAPTER 08

상관계수 — 공분산의 정규화

Correlation Coefficient

공분산은 방향은 정확한데 크기가 오락가락했죠. "각 변수의 표준편차"로 나눠 주면 단위 문제가 사라져요. 이게 상관계수 \(\rho\)(로)예요.

Correlation Coefficient · 상관계수

\(-1\)과 \(+1\) 사이에 갇힌 관계

공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눠 만든 숫자. 단위 없음. 항상 \(-1 \le \rho \le 1\).

\[ \rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

값의 의미

\(\rho\) 값 해석 가이드
\(\rho\) 값	관계	그림
\(+1\)	완전한 양의 상관	딱 올라가는 직선
\(+0.7 \sim +0.9\)	강한 양의 상관	오른쪽 위로 뚜렷
\(+0.3 \sim +0.5\)	약한 양의 상관	살짝 오르는 경향
\(0\)	관계 없음	동그란 구름
\(-0.3 \sim -0.5\)	약한 음의 상관	살짝 내리는 경향
\(-1\)	완전한 음의 상관	딱 내려가는 직선

공분산 vs 상관계수

둘 다 방향은 같게 말해요(부호가 같음). 차이는 크기. 공분산은 단위 있고 범위도 무한, 상관계수는 단위 없고 \(-1 \sim +1\)로 갇혀 있어요.

속도계 vs 백분율 게이지.

공분산 = 속도계 (단위도, 눈금도 제각각).
상관계수 = 백분율 게이지 (0~100%로 통일).

여러 관계를 비교할 땐 백분율이 편하죠. 상관계수도 그래서 더 자주 쓰여요.

상관 \(\ne\) 인과

\(\rho\)가 크다고 한 쪽이 다른 쪽의 원인이란 뜻은 아니에요. "아이스크림 판매와 익사 사고가 같이 오른다"는 둘 다 더운 날씨의 결과일 뿐이에요. 조심!

KEY TAKEAWAY

상관계수 = 공분산 \(\div\) 두 표준편차. \(-1\)과 \(+1\) 사이에서 관계의 세기를 말한다.

CHAPTER 09

공분산 0의 함정 — 독립과 같은 말일까?

\(\text{Cov} = 0 \ne\) Independence

상관계수 \(\rho\)나 공분산이 0이면 "아, 두 변수는 관계가 없구나" 라고 생각하기 쉬워요. 절반만 맞는 이야기예요.

조심해야 할 지점이 하나 있거든요. 공식 한 줄로 먼저 정리해 볼게요.

\[ X, Y \text{ 독립} \Rightarrow \text{Cov}(X, Y) = 0 \]

독립이면 공분산은 반드시 0이에요. 이쪽 방향은 항상 참이죠.

\[ \text{Cov}(X, Y) = 0 \nRightarrow X, Y \text{ 독립} \]

그런데 반대 방향은 그렇지 않아요. 공분산이 0이라고 해서 꼭 독립이라는 보장은 없어요.

핵심 포인트

공분산은 선형(직선) 관계만 잡아내요. 곡선 관계처럼 비선형으로 엮여 있으면, 공분산이 0이어도 두 변수가 단단히 종속일 수 있어요.

반례 · 곡선으로 묶인 두 변수

확률변수 \(X\)가 \(-1, 0, 1\) 세 값을 각각 확률 \(1/3\)로 가진다고 해요. 그리고 \(Y = X^2\). 즉 \(Y\)는 \(X\)의 제곱.

\(X \in \{-1, 0, 1\}\) · 각 확률 \(1/3\)
\(Y = X^2 \to \{1, 0, 1\}\)

\(Y\)는 \(X\)에 의해 완전히 결정돼요. \(X\)를 알면 \(Y\)도 즉시 알 수 있어요. 전혀 독립이 아니죠.

그런데 공분산을 계산해 보면 놀라운 일이 벌어져요.

\(X, Y=X^2\) 의 분포
\(X\)	\(Y\)	\(P\)	\(X \cdot Y\)
\(-1\)	\(1\)	\(1/3\)	\(-1/3\)
\(0\)	\(0\)	\(1/3\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1/3\)	\(1/3\)

\(E[X] = (-1 + 0 + 1) / 3 =\) 0
\(E[Y] = (1 + 0 + 1) / 3 =\) 2/3
\(E[XY] = (-1/3 + 0 + 1/3) =\) 0
\(\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y] = 0 - 0 \cdot (2/3) =\) 0

결과 읽기

공분산이 깨끗하게 0이 나왔어요. 하지만 \(Y\)는 \(X\)의 제곱이라 \(X\)에 완전히 묶여 있어요. "관계 없음"이 아니라 "선형 관계가 없음"인 거죠.

왜 이런 일이?

\(X=-1\)일 때도 \(Y=1\), \(X=+1\)일 때도 \(Y=1\)이에요. 왼쪽과 오른쪽이 대칭으로 올라가는 U자 곡선.

공분산은 "\(X\)가 크면 \(Y\)도 큰가?"만 물어봐요. U자처럼 양쪽 다 올라가는 관계는 눈치채지 못해요.

시험에 나오는 한 줄

독립 → 공분산 \(0\) (참).
공분산 \(0\) → 독립 (거짓, 반례 있음).
단, 정규분포를 따르는 쌍 \((X, Y)\)에서는 공분산 \(0\)이면 독립이라는 특별 규칙이 성립해요.

KEY TAKEAWAY

공분산은 직선만 본다. 0이어도 곡선으로 얽혀 있을 수 있다.

CHAPTER 10

분산의 합 공식 — 둘을 더하면 위험은?

Variance of a Sum

확률변수 \(X\)와 \(Y\)를 더한 \(X + Y\). 이 합의 분산은 어떻게 될까요? 단순히 \(\text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\) 일까요?

정답은 "공분산이 끼어든다" 예요.

\[ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]

두 분산을 더한 뒤, 공분산의 두 배를 얹어요. 공분산의 부호가 이 합의 흔들림을 키우기도 줄이기도 해요.

공식은 어디서 왔을까

정의대로 하나씩 풀어보면 공식이 자연스럽게 나와요. \(\mu_X = E[X]\), \(\mu_Y = E[Y]\)로 두고요.

\[ \text{Var}(X+Y) = E\left[ ((X+Y) - (\mu_X+\mu_Y))^2 \right] \]

괄호 안을 \((X - \mu_X) + (Y - \mu_Y)\)로 묶고 제곱을 펼쳐요.

\[ = E\left[ (X-\mu_X)^2 + (Y-\mu_Y)^2 + 2(X-\mu_X)(Y-\mu_Y) \right] \]

기댓값은 합에 대해 분배가 돼요. 세 덩어리로 나누면.

\[ = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]

평문으로 다시. 첫 두 덩어리는 각자의 분산. 세 번째는 정의 그대로 공분산이에요. 이게 공식의 출생 이야기.

독립이면 깔끔해져요

\(X\)와 \(Y\)가 서로 독립이면 \(\text{Cov}(X, Y) = 0\)이죠. 그러면 공식은 아주 단순해져요.

\[ \text{독립일 때:}\ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \]

분산도 "그냥 더하면 된다"가 되는 거예요. 이항분포의 \(\text{Var}(X) = np(1-p)\) 가 이 원리의 결과물이에요. Bernoulli \(n\)번이 독립이니 분산이 그대로 \(n\)배.

세 가지 경우로 정리

· \(\text{Cov} > 0\) → \(\text{Var}(X+Y)\)가 커져요. 같이 오르내려서 출렁임 증폭.
· \(\text{Cov} = 0\) (독립) → \(\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\). 딱 맞게 합산.
· \(\text{Cov} < 0\) → \(\text{Var}(X+Y)\)가 작아져요. 한 쪽이 떨어질 때 다른 쪽이 받쳐줌.

포트폴리오로 느껴보기

두 자산 \(A, B\)에 반씩 투자해요. \(\text{Var}(A) = \text{Var}(B) = 100\)이라고 해볼게요. 총 수익의 분산은 \(\text{Cov}\)에 따라 크게 달라져요.

\(\text{Cov}\)에 따른 \(\text{Var}(A+B)\) 변화
상황	\(\text{Cov}(A,B)\)	\(\text{Var}(A+B)\)	해석
같은 방향 자산	\(+80\)	\(100 + 100 + 160 =\) 360	위험 증폭
독립 자산	\(0\)	\(100 + 100 + 0 =\) 200	기본 합산
반대 방향 자산	\(-80\)	\(100 + 100 - 160 =\) 40	위험 급감

왜 분산 투자를 할까.

같은 업종 주식만 사면 공분산이 양수. 한번 떨어질 때 같이 떨어져 위험이 커져요.

서로 반대로 움직이는 자산을 섞으면 공분산이 음수. "한 쪽이 내리면 다른 쪽이 올라가" 총 위험이 줄어요.

이게 다음 장 포트폴리오의 마법이에요.

일반화 · \(n\)개의 합

확률변수 \(X_1, \ldots, X_n\)의 합이라면

\(\text{Var}(\sum X_i) = \sum \text{Var}(X_i) + 2 \cdot \sum_{i<j} \text{Cov}(X_i, X_j)\).

모든 쌍의 공분산을 한 번씩 더해주면 끝이에요.

KEY TAKEAWAY

\(\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}\). 공분산이 합의 흔들림을 좌우한다.

CHAPTER 11

투자 의사결정 — 기댓값 vs 위험

현실 적용 · 앞에서 배운 공식을 직접 써보기

여기까지 배운 것들이 현실에서 어떻게 쓰일까요? 대표적인 예가 투자 판단이에요. 기댓값(\(E\))과 분산(\(\text{Var}\))으로 두 선택지를 비교해볼게요.

상황 · 두 가지 투자안

1년 후의 수익을 확률분포로 예측했어요. 단위는 만원.

투자 A · 안전

예금형

확률 0.5: 수익 +20
확률 0.5: 수익 +60

투자 B · 변동

주식형

확률 0.5: 수익 −30
확률 0.5: 수익 +110

기댓값 계산

\(E(A) = 20 \times 0.5 + 60 \times 0.5 =\) 40만원
\(E(B) = (-30) \times 0.5 + 110 \times 0.5 =\) 40만원

기댓값은 똑같네요. 그럼 둘 다 같은 투자일까요? 분산(위험)을 봐야 진짜 모습이 보여요.

분산 계산

\(\text{Var}(A) = (20-40)^2 \times 0.5 + (60-40)^2 \times 0.5 = 400 \to \sigma_A =\) 20
\(\text{Var}(B) = (-30-40)^2 \times 0.5 + (110-40)^2 \times 0.5 = 4{,}900 \to \sigma_B =\) 70

두 투자의 기댓값과 위험

A는 막대 간격 작음(안정) · B는 커다란 격차(변동).

선택의 기준

· 위험 회피형: A 선택. 같은 기댓값이면 덜 출렁이는 게 좋아요.
· 위험 선호형: B 선택. 큰 상승의 가능성에 끌려요.

통계는 정답을 주지 않아요. 판단에 필요한 정보를 줄 뿐이에요.

같은 평균이라도 출렁임이 다르면
완전히 다른 선택이에요.

포트폴리오의 마법.

\(A\)와 \(B\)를 반씩 섞으면 어떻게 될까요? 기댓값은 여전히 40.

10장에서 배운 공식을 떠올려 봐요. \(\text{Var}(A+B) = \text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A, B)\).

둘의 공분산이 음수라면 마지막 항이 마이너스. 합의 분산이 확 줄어요. "계란을 한 바구니에 담지 말라"의 수학적 근거죠.

KEY TAKEAWAY

기댓값은 약속된 보상. 분산은 숨은 위험. 둘 다 봐야 진짜 보인다.

EPILOGUE

맺는 글

오늘 배운 것, 다음에 만날 것

확률이 점이었다면, 확률분포는 지도였어요. 오늘 우리는 그 지도를 읽는 법을 배웠죠.

오늘의 장면 요약

확률변수 \(X\) = 결과에 숫자를 붙이는 규칙
이산 확률분포 = 값과 확률의 짝 · 합은 1
기댓값 \(E(X)\) = 분포의 중심 · 분산 \(\text{Var}(X)\) = 분포의 폭
Bernoulli = 1번의 성공/실패 · \(E=p\), \(\text{Var}=p(1-p)\)
Binomial = Bernoulli \(n\)번 · \(E=np\), \(\text{Var}=np(1-p)\)
이항의 얼굴은 \(p\)가 결정 (대칭 / 오른쪽 / 왼쪽 꼬리)
공분산 \(\text{Cov}(X,Y)\) = 두 변수가 함께 움직이는 방향
상관계수 \(\rho\) = 공분산의 정규화 · \(-1 \sim +1\)
독립이면 \(\text{Cov}=0\). 그러나 \(\text{Cov}=0\)이라고 꼭 독립은 아니다 (반례: \(Y=X^2\))
\(\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X,Y)\)
기댓값 + 분산으로 투자 의사결정

다음 주 예고 · 정규분포

이항분포에서 n이 아주 커지면 봉우리가 부드러운 종이 돼요. 이게 바로 정규분포. 통계학의 주인공이죠. 키, 몸무게, 시험 점수 — 많은 자연 현상이 정규분포를 따라요.

다음 강의에서는 "재는 분포"의 대표 선수를 만나요. 곡선 아래 넓이로 확률을 읽는 법, 68-95-99.7 법칙, 그리고 표준화(Z-score)까지. 기대해 주세요.

오늘의 마음가짐

공식은 잊어도 괜찮아요. 언제든 다시 찾아볼 수 있으니까요.

대신 그림 한 장은 가슴에 남겨요. 봉우리의 위치와 폭이 우리가 보는 세상의 거의 전부를 말해줘요.

— 4강, 마침 —

이산 확률분포 — 확률을 한 표에 담는 법

여는 글 · 가능한 결과를 한 상에 차리다

확률변수 — 숫자가 된 결과

두 종류의 확률변수

이산 Discrete

연속 Continuous

이산 확률분포 — 값과 확률의 짝

예시 · 주사위 하나

예시 · 두 자녀의 딸 수

기댓값과 분산 — 분포를 숫자 둘로

기댓값 \(E(X)\)

분산 \(\text{Var}(X)\)

계산 예시 · 두 자녀의 딸 수

Bernoulli 분포 — 한 번의 성공/실패

기댓값과 분산

분산이 가장 큰 순간은?

Binomial 분포 — 여러 번의 성공

확률 공식

\(C(n, k)\)

\(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)

예시 · 영업 전화 5통

기댓값과 분산

이항분포의 모양 — \(p\)가 바꾸는 풍경

\(n = 10\) · \(p\)를 바꿔보면

\(n\)이 커지면?

공분산 — 두 변수가 함께 움직이는 방향

\(\text{Cov} > 0\)

\(\text{Cov} < 0\)

상관계수 — 공분산의 정규화

값의 의미

공분산 0의 함정 — 독립과 같은 말일까?

반례 · 곡선으로 묶인 두 변수

분산의 합 공식 — 둘을 더하면 위험은?

공식은 어디서 왔을까

독립이면 깔끔해져요

포트폴리오로 느껴보기

투자 의사결정 — 기댓값 vs 위험

상황 · 두 가지 투자안

투자 A · 안전

투자 B · 변동

기댓값 계산

분산 계산

맺는 글

오늘의 장면 요약

다음 주 예고 · 정규분포

오늘의 마음가짐