BIZ500 · Management Statistical Analysis
시험 예상 문제 12유형 — 정규분포부터 회귀까지 한 번에
Lecture 5~10에서 다룬 모든 핵심 유형을 12개 예상 문제로 압축했습니다. 각 문제는 시험에서 자주 나오는 패턴을 대표하고,
풀이는 ① 가설/식 → ② SE/표준화 → ③ p-값/CI → ④ 결론 4단계로 통일.
이 12문제를 손으로 풀 수 있으면 기말 문제의 80%는 같은 틀로 풀립니다.
각 문제 헤더에 🔥(매년 출제) / ⭐(자주 출제) / ✏️(가끔 출제) 로 표시했어요.
① 다운로드 시간 — 확률 계산 🔥
MyTVLab 영화 한 편의 다운로드 시간 \(X\)는 평균 8분, 표준편차 2분인 정규분포를 따른다.
(a) 다운로드가 10분 이상 걸릴 확률은?
(b) 다운로드가 5분 미만으로 끝날 확률은?
(c) 다운로드가 6~9분 사이일 확률은?
풀이
표준화: \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 8}{2}\) ~ \(N(0, 1)\).
(a) \(X = 10\) → \(z = (10-8)/2 = 1.0\). \(P(X > 10) = P(Z > 1.0) = 1 - 0.8413 = \mathbf{0.1587}\) (15.87%)
(b) \(X = 5\) → \(z = (5-8)/2 = -1.5\). \(P(X < 5) = P(Z < -1.5) = 1 - 0.9332 = \mathbf{0.0668}\) (6.68%)
(c) \(X = 6\) → \(z_1 = -1.0\), \(X = 9\) → \(z_2 = 0.5\).
\(P(6 \le X \le 9) = P(-1 \le Z \le 0.5) = 0.6915 - (1 - 0.8413) = 0.6915 - 0.1587 = \mathbf{0.5328}\) (53.28%)
(a) 15.87% / (b) 6.68% / (c) 53.28%
Z-표는 왼쪽 꼬리 확률 \(P(Z \le z)\)를 줌. 음수 \(z\)는 대칭성 \(P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)\)로 변환.
② 호텔 객실 — 임계값 찾기 ⭐
한 호텔 체인의 일일 객실 예약 수 \(X\) ~ \(N(\mu = 200, \sigma^2 = 30^2)\).
(a) 예약이 상위 5%인 "고객수일"은 몇 건 이상인가?
(b) 매니저가 "하루 예약 90%를 처리할 객실"을 미리 준비하려면 객실을 몇 개로 잡아야 하나?
풀이
(a) \(P(X > k) = 0.05\) → \(P(Z > z) = 0.05\) → \(z = 1.65\) (단측 임계값).
\(z = (k - 200)/30 = 1.65\) → \(k = 200 + 1.65 \times 30 = 249.5\). 249.5건 이상이면 상위 5%에 해당.
(b) 매니저는 "예약을 처리할 객실"이 부족할 확률을 10% 이하로 → \(P(X \le k) = 0.90\) → \(z = 1.28\).
\(k = 200 + 1.28 \times 30 = 238.4\) → 239개 객실 준비.
(a) 249.5건 이상 / (b) 239개
"확률 → 임계값" 문제는 임계 z값 표 (1.28 / 1.65 / 1.96 / 2.33 / 2.58) 외워두면 즉시 해결. 식: \(k = \mu + z \cdot \sigma\).
③ 카페 음료 분량 — 표본평균의 분포 🔥
한 카페가 판매하는 라떼 한 잔의 분량 \(X\)는 평균 250ml, 표준편차 15ml로 알려져 있다. 분포 모양은 모른다.
(a) 한 잔이 240ml 미만일 확률은? (계산 가능?)
(b) 무작위 36잔의 평균 분량이 245ml 미만일 확률은?
(c) 무작위 100잔의 평균 분량이 248~252ml 사이일 확률은?
풀이
(a) 한 잔 \(X\)의 분포 모양을 모르므로 정규분포 가정 불가 → 계산 불가 (혹은 분포 가정 명시 필요).
(b) CLT: \(n = 36 \ge 30\)이므로 \(\bar{X} \sim N(250, 15^2/36) = N(250, 6.25)\), 표준편차 \(15/\sqrt{36} = 2.5\).
\(z = (245 - 250)/2.5 = -2\). \(P(\bar{X} < 245) = P(Z < -2) = 1 - 0.9772 = \mathbf{0.0228}\) (2.28%)
(c) \(n = 100\), SE \(= 15/\sqrt{100} = 1.5\). \(z_1 = (248-250)/1.5 = -1.33\), \(z_2 = (252-250)/1.5 = 1.33\).
\(P(248 \le \bar{X} \le 252) = P(-1.33 \le Z \le 1.33) = 0.9082 - 0.0918 = \mathbf{0.8164}\) (81.64%)
(a) 계산 불가 / (b) 2.28% / (c) 81.64%
(a)는 "한 잔"의 확률 — CLT 적용 X. CLT는 표본평균(여러 잔의 평균)의 분포를 알려주는 정리. 단일 관측치에는 적용 안 됨.
④ 광고 클릭률 — 표본비율의 분포 ⭐
광고 한 번 노출 시 클릭으로 이어질 확률 \(p = 0.10\). 광고를 \(n = 400\)명에게 노출했다.
(a) 표본비율 \(\hat{p}\)의 평균과 표준오차는?
(b) 표본비율 \(\hat{p}\)이 12% 이상일 확률은?
(c) 표본비율 \(\hat{p}\)이 8%~12% 사이일 확률은?
풀이
(a) \(E[\hat{p}] = p = 0.10\). SE \(= \sqrt{p(1-p)/n} = \sqrt{0.10 \times 0.90 / 400} = \sqrt{0.000225} = 0.015\).
CLT: \(np = 40 \ge 5\) and \(n(1-p) = 360 \ge 5\) → \(\hat{p} \sim N(0.10, 0.015^2)\) 근사.
(b) \(z = (0.12 - 0.10)/0.015 = 1.33\). \(P(\hat{p} > 0.12) = P(Z > 1.33) = 1 - 0.9082 = \mathbf{0.0918}\) (9.18%)
(c) \(z_1 = -1.33\), \(z_2 = 1.33\) (대칭). \(P(0.08 \le \hat{p} \le 0.12) = 2 \times 0.9082 - 1 = \mathbf{0.8164}\) (81.64%)
(a) 평균 0.10, SE 0.015 / (b) 9.18% / (c) 81.64%
표본비율의 CLT 조건: \(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\). 둘 다 만족하면 정규 근사 가능.
⑤ 배달 시간 신뢰구간 🔥
배달 앱 사용자 100명의 평균 배달 시간이 32분으로 측정됨. 모표준편차 \(\sigma = 8\)분.
(a) 95% 신뢰구간을 구하시오.
(b) 99% 신뢰구간을 구하시오.
(c) 90% 신뢰구간을 구하시오.
(d) 신뢰수준이 높을수록 구간이 어떻게 변하는가? 이유는?
풀이
SE \(= \sigma/\sqrt{n} = 8/\sqrt{100} = 0.8\). 식: \(\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \text{SE}\).
| 신뢰수준 | \(z_{\alpha/2}\) | ME | CI |
|---|---|---|---|
| (c) 90% | 1.65 | 1.32 | (30.68, 33.32) |
| (a) 95% | 1.96 | 1.568 | (30.43, 33.57) |
| (b) 99% | 2.58 | 2.064 | (29.94, 34.06) |
(d) 신뢰수준이 높을수록 구간이 넓어진다. 이유: 더 많은 모평균 값을 "포함 가능"으로 받아들이려면 구간이 커져야 함. 99% CI는 1% 위험만 감수하므로 90% CI(10% 위험)보다 훨씬 큼.
(a) 95% CI = (30.43, 33.57) / (b) 99% CI = (29.94, 34.06) / (c) 90% CI = (30.68, 33.32)
⑥ 만족도 조사 — 비율 신뢰구간 ⭐
500명 고객을 대상으로 한 만족도 조사에서 320명이 "만족"이라 답했다.
(a) 만족 비율의 95% 신뢰구간을 구하시오.
(b) "전체 고객의 65%가 만족한다"는 주장은 통계적으로 지지되는가? (CI 기반 판단)
(c) 신뢰구간의 폭을 절반으로 줄이려면 표본을 몇 배로 늘려야 하나?
풀이
\(\hat{p} = 320/500 = 0.64\). SE \(= \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} = \sqrt{0.64 \times 0.36 / 500} = \sqrt{0.000461} = 0.0215\).
(a) 95% CI: \(0.64 \pm 1.96 \times 0.0215 = (0.598, 0.682)\). 즉 (59.8%, 68.2%).
(b) 0.65는 95% CI \((0.598, 0.682)\) 안에 있음 → "만족 비율 = 65%" 주장을 5% 유의수준에서 기각할 수 없음. 65%일 가능성을 지지함.
(c) CI 폭은 \(2 \cdot z \cdot \sigma/\sqrt{n}\)에 비례. 폭을 절반으로 → \(\sqrt{n}\)을 2배로 → \(n\)을 4배로 (= 2,000명).
(a) (59.8%, 68.2%) / (b) 기각 못 함 — 65%가 CI에 포함됨 / (c) 4배 (2,000명)
CI 폭 ↓ 4배 룰 — 정밀도를 2배로 올리려면 표본을 4배. SE에 \(\sqrt{n}\)이 들어가서 그렇습니다.
⑦ 신제품 무게 검정 🔥
한 과자 봉지에 "내용량 200g"으로 표시되어 있다. 품질 관리팀이 무작위 64봉지의 무게를 잰 결과 표본평균 \(\bar{X} = 197.5\)g. 모표준편차 \(\sigma = 8\)g으로 알려져 있다.
표시된 200g과 실제 평균이 다른지 \(\alpha = 5\%\)에서 검정하시오.
풀이
① 가설: \(H_0 : \mu = 200, \quad H_1 : \mu \ne 200\) (양측).
② SE: \(\sigma/\sqrt{n} = 8/\sqrt{64} = 1\).
③ z-통계량: \(z = (197.5 - 200)/1 = -2.5\).
④ p-값 (양측): \(2 \cdot P(Z < -2.5) = 2 \times 0.0062 = 0.0124\) (1.24%).
⑤ 결론: \(0.0124 < 0.05\) → \(H_0\) 기각. 표시된 200g과 실제 평균이 다르다는 증거 충분.
5% 유의수준에서 \(H_0\) 기각. 평균 무게가 200g이 아니라는 통계적 증거 있음. (관측값이 작으니 "표시보다 적음" 의심.)
5% 양측 임계값 \(z_{0.025} = 1.96\). \(|z| = 2.5 > 1.96\) → 같은 결론 (기각).
⑧ 신약 효능 — 단측 검정 ⭐
기존 치료법의 완치율은 70%로 알려져 있다. 신약을 \(n = 200\)명에게 투여한 결과 152명이 완치되었다.
신약이 기존 치료법보다 더 효과적이라는 증거가 \(\alpha = 5\%\)에서 충분한가?
풀이
① 가설: \(H_0 : p \le 0.70, \quad H_1 : p > 0.70\) (오른쪽 단측).
② 표본 통계량: \(\hat{p} = 152/200 = 0.76\).
③ SE (H₀ 하 — 경계값 \(p = 0.70\) 사용): \(\sqrt{0.70 \times 0.30 / 200} = \sqrt{0.00105} = 0.0324\).
④ z-통계량: \(z = (0.76 - 0.70)/0.0324 = 1.85\).
⑤ p-값 (단측): \(P(Z > 1.85) = 1 - 0.9678 = 0.0322\) (3.22%).
⑥ 결론: \(0.0322 < 0.05\) → \(H_0\) 기각. 신약이 더 효과적이라는 증거 충분.
5% 유의수준에서 \(H_0\) 기각. 신약의 완치율이 기존 70%보다 통계적으로 더 높다고 결론.
같은 데이터라도 양측에서는 p-값이 \(0.0322 \times 2 = 0.0644 > 0.05\) → 기각 불가. 단측을 쓰려면 방향이 사전에 정해져 있어야 함 — "기존보다 좋다" 같은 명확한 가설.
⑨ A/B 광고 노출 비교 ⭐
두 광고 A, B의 클릭 후 페이지 체류시간(초)을 비교. 각각 \(n_A = n_B = 200\)명 무작위 노출.
광고 A: \(\bar{X}_A = 45\), \(\sigma_A = 12\). 광고 B: \(\bar{X}_B = 41\), \(\sigma_B = 15\).
두 광고의 평균 체류시간이 다른지 \(\alpha = 1\%\)에서 검정하시오.
풀이
① 가설: \(H_0 : \mu_A - \mu_B = 0, \quad H_1 : \mu_A - \mu_B \ne 0\) (양측).
② 표본 평균 차: \(\bar{X}_A - \bar{X}_B = 45 - 41 = 4\).
③ SE (독립 표본):
④ z-통계량: \(z = 4 / 1.358 = 2.95\).
⑤ p-값 (양측): \(2 \cdot P(Z > 2.95) = 2 \times 0.0016 = 0.0032\) (0.32%).
⑥ 결론: \(0.0032 < 0.01\) → \(H_0\) 기각. 두 광고의 평균 체류시간이 다르다는 강한 증거.
1% 유의수준에서 기각. 광고 A의 체류시간이 광고 B보다 통계적으로 더 길다고 결론 가능 (\(\bar{X}_A > \bar{X}_B\)이므로 방향까지).
독립 표본: \(\sqrt{\sigma_A^2/n_A + \sigma_B^2/n_B}\). 두 분산을 표본크기로 나눠 더한 뒤 제곱근.
⑩ 다이어트 전후 비교 ✏️
다이어트 프로그램 효과 검증. 같은 \(n = 50\)명을 대상으로 시작 시점과 8주 후 체중 측정.
시작: \(\bar{X}_1 = 72.5\)kg. 8주 후: \(\bar{X}_2 = 70.8\)kg. 차이 \(D = X_1 - X_2\)의 표본 표준편차 \(S_D = 3.2\)kg.
다이어트 효과가 있다는 (체중이 감소했다는) 증거가 \(\alpha = 5\%\)에서 충분한가?
풀이 — 짝 표본의 특수성
같은 사람의 시작·종료 체중은 강한 양의 상관관계. 독립이라 가정하면 SE를 과대평가하게 됨. 해결: 차이 \(D\)를 새 변수로 만들어 한 표본 문제로 환원.
① 가설: \(H_0 : \mu_D = 0, \quad H_1 : \mu_D > 0\) (오른쪽 단측 — "체중 감소" 방향).
② \(\bar{D}\) 계산: \(\bar{D} = 72.5 - 70.8 = 1.7\)kg.
③ SE: \(\text{SE}_{\bar{D}} = S_D/\sqrt{n} = 3.2/\sqrt{50} = 3.2/7.07 = 0.453\).
④ z-통계량: \(z = 1.7 / 0.453 = 3.76\).
⑤ p-값 (단측): \(P(Z > 3.76) \approx 0.00008\) (0.008%) — 매우 작음.
⑥ 결론: p-값 \(\ll 0.05\) → \(H_0\) 강하게 기각. 다이어트 효과 있음 (체중 감소).
5% (사실 1% 이하 어떤 수준에서도) 유의수준에서 기각. 8주간 평균 1.7kg 감량이 통계적으로 유의함.
"같은 사람을 두 번 측정" → 짝 표본. 차이 \(D = X_1 - X_2\)를 만들어 한 표본 검정. SE에는 \(S_D / \sqrt{n}\) (개별 \(S_X, S_Y\)는 못 씀).
⑪ 아파트 가격 vs 평수 🔥
서울 아파트 100채 데이터로 단순회귀 추정 결과:
표준오차 \(\text{SE}(\hat{\beta}_1) = 0.12\), \(R^2 = 0.72\).
(a) \(\hat{\beta}_1 = 0.85\)의 비즈니스 의미는?
(b) "평수는 가격에 영향이 없다(\(\beta_1 = 0\))"를 \(\alpha = 5\%\)에서 검정.
(c) \(R^2 = 0.72\)의 의미는?
(d) 40평 아파트의 예상 가격은?
풀이
(a) 평수가 1평 늘 때 가격이 평균 0.85억(8,500만원) 오른다는 의미. 다른 모든 조건 동일.
(b) \(H_0 : \beta_1 = 0, \quad H_1 : \beta_1 \ne 0\).
큰 표본 (\(n = 100\))이므로 t ≈ Z. \(|z| = 7.08 \gg 1.96\) → \(H_0\) 강하게 기각. 평수는 가격에 통계적으로 유의한 영향 있음.
(c) \(R^2 = 0.72\) → "가격의 변동 중 72%를 평수가 설명함." 매우 강한 설명력.
(d) Area = 40 → \(\hat{\text{Price}} = 2.5 + 0.85 \times 40 = 2.5 + 34 = \mathbf{36.5}\)억원.
(a) 1평당 +0.85억 / (b) 기각 (z=7.08) — 평수 영향 유의함 / (c) 가격 변동의 72% 설명 / (d) 36.5억원
① 부호 (예상대로?) ② 크기 (실무 의미 있는?) ③ 유의성 (t-stat or p-value < 0.05?). 셋 다 통과해야 의사결정에 활용.
⑫ 매출 회귀 — 가격·프로모션·요일 ⭐
편의점 1년 매출 데이터로 회귀 추정:
Promo = 1 (프로모션 진행), 0 (없음). Weekend = 1 (토·일), 0 (평일). \(n = 365\), \(R^2 = 0.58\), Adjusted \(R^2 = 0.57\).
모든 계수의 t-stat은 절댓값 3 이상.
(a) 각 계수의 비즈니스 의미를 한 줄씩.
(b) 프로모션 진행 + 주말일 때 (가격 5,000원 가정) 예상 매출은?
(c) Adjusted \(R^2\)와 \(R^2\)의 차이가 거의 없다. 이게 의미하는 것은?
풀이
(a) 각 계수 해석:
- \(\beta_0 = 50\) — 모든 변수가 0일 때 (가격 0, 프로모션 없음, 평일) 매출 50. 실무 의미 적음 (절편).
- \(\beta_1 = -1.2\) — 가격이 1원 오를 때 매출 평균 1.2 단위 감소. 부호 음수 — 합리적 (수요 법칙).
- \(\beta_2 = +8.5\) — 프로모션을 진행하면 매출이 평균 +8.5 단위 증가 (가격·요일 통제 후).
- \(\beta_3 = +12.3\) — 주말에는 매출이 평균 +12.3 단위 더 높음 (가격·프로모션 통제 후).
(b) 예측:
주의 — 가격 단위에 따라 계수 해석이 다름. 위 식이 단위 정합하려면 Price를 천원 단위로 가정해야 합리적. Price = 5 (천원)로 가정:
(c) Adjusted \(R^2\)와 \(R^2\)의 차이가 거의 없음 → 포함된 변수들이 모두 의미 있음 (불필요한 변수 추가가 없음). 변수마다 페널티가 작용했지만 거의 안 떨어졌으니 모두 기여한다는 신호.
(a) 가격↑ 매출↓, 프로모션 +8.5, 주말 +12.3 / (b) 약 64.8 단위 / (c) 모든 변수가 모형에 기여하고 있음 (군더더기 없음)
Promo·Weekend는 0/1 더미. 계수는 "그 조건이 켜졌을 때 추가되는 매출". 0이면 그 항 자체가 사라지므로 절편이 기본값이 됨. 더미는 카테고리 효과를 회귀에 넣는 표준 방법.
이 12문제가 다 풀린다면
기말 시험에 나올 문제는 결국 이 12개 유형의 변형입니다. 시험장에서 새로운 문제를 만나면 "이건 어느 유형이지?"부터 분류해보세요.
| 문제에 이런 단어가 나오면… | 유형 |
|---|---|
| "평균 μ, 표준편차 σ가 알려진 정규분포" | ① ② |
| "표본을 뽑았는데 n이 큰 경우" / "X̄의 분포" | ③ |
| "성공률·비율·p̂" | ④ |
| "진짜 평균(또는 비율)이 어디?" / "신뢰구간" | ⑤ ⑥ |
| "~인가 아닌가?" / "증거가 충분한가?" | ⑦ ⑧ |
| "두 집단 비교" / "독립 표본" | ⑨ |
| "같은 사람을 두 번 측정" / "전후 비교" | ⑩ |
| "두 변수의 관계" / "기울기 β₁" | ⑪ |
| "여러 변수 모형" / "더미변수" / "R²" | ⑫ |