정규분포 — 세상의 많은 것이 종 모양으로 놓인다

여는 글 · MyTVLab의 고민

MyTVLab이라는 영상 서비스가 있어요. 통계팀이 다운로드 시간을 여러 번 재봤대요.

결과가 나왔어요. 평균 7초, 표준편차 2초. 그리고 하나 더. "이 시간은 정규분포를 따른다"는 거예요.

회사가 궁금한 건 세 가지. 9초 넘게 걸리는 영상은 몇 %인가? 99% 완료까지는 몇 초 걸리나? 기술을 개선하면 어떻게 달라지나?

종 모양 곡선은 우연히 생긴 게 아니에요.
자연이 스스로 그려낸 모양이에요.

연속 확률변수와 PDF

4강에서는 이산 확률변수를 배웠어요. 주사위 눈금처럼 셀 수 있는 값들이었죠.

그런데 시간, 길이, 무게는 어때요? 7초, 7.1초, 7.13초… 중간값이 끝없이 많아요. 이런 걸 연속 확률변수라고 해요.

정규분포의 특성

정규분포는 다음 네 가지 성질을 가져요.

1. 종 모양. 가운데가 제일 높고 양옆으로 낮아져요.
2. 좌우 대칭. 평균을 기준으로 완벽한 거울.
3. 두 숫자로 결정. 평균 \(\mu\)와 표준편차 \(\sigma\)만 알면 모양이 정해져요.
4. 양 끝은 0에 가까워져요. 하지만 완전히 닿지는 않아요.

복잡해 보이죠? 겁먹지 않아도 돼요. 이 식은 종 모양을 그리는 설계도일 뿐이에요.

확률 읽는 법

• 전체 면적 = 1. 모든 확률의 합이니까 당연해요.
• \(P(Z \ge a) + P(Z < a) = 1\). 두 쪽으로 나누면 합은 1.
• \(P(Z < -a) = P(Z \ge a)\). 좌우 대칭이니까 양쪽 꼬리는 같아요.

\(\mu\)와 \(\sigma\)의 역할

정규분포는 두 숫자로 결정된다고 했어요. 각 숫자가 하는 일을 따로 살펴봐요.

평균이 바뀔 때 (\(\sigma\)는 고정)

표준편차가 바뀔 때 (\(\mu\)는 고정)

68-95-99.7 경험 법칙

정규분포에는 유명한 법칙이 하나 있어요. 평균에서 몇 \(\sigma\) 떨어진 구간에 데이터가 얼마나 들어가는지에 관한 규칙이에요.

표준정규분포

세상엔 정규분포가 무수히 많아요.

키(\(\mu=172, \sigma=6\)), 시험 점수(\(\mu=70, \sigma=12\)), 다운로드 시간(\(\mu=7, \sigma=2\))… \(\mu\)와 \(\sigma\) 조합에 따라 끝없이 달라져요.

매번 다른 곡선의 면적을 계산하긴 번거로워요. 그래서 기준 하나를 정했어요.

표준정규로 바꿔두면 정규분포표(Normal Table) 하나로 모든 확률을 찾을 수 있어요. 이 표는 다음 장에서 자세히 봐요.

표준화 공식

현실의 정규분포는 대부분 표준정규가 아니에요.

다운로드 시간은 \(\mu=7, \sigma=2\). 키는 \(\mu=172, \sigma=6\). 매번 곡선이 달라요.

그래서 이걸 표준정규로 번역하는 마법의 공식이 있어요. 줄 하나만 외우면 돼요.

\(X\)에서 평균을 빼고, 표준편차로 나눠요. 그럼 \(Z\)가 나와요. \(Z\)는 항상 표준정규(평균 0, \(\sigma=1\))를 따라요.

반대로 되돌리려면 이렇게.

\(z\)값에 \(\sigma\)를 곱해서 원래 단위로 늘리고, 평균을 더해주면 \(X\)가 돼요. 표준화의 역연산이에요.

표준화 예시

\(X \sim N(7, 2^2)\)에서 \(P(X > 9)\)를 구해봐요.

\(X-7\)을 2로 나눈 게 \(Z\)예요. 부등식 양변에 같은 변환을 해줬을 뿐이에요. 확률 값은 그대로예요.

표준정규표에서 \(P(Z > 1) \approx\) 0.1587. 즉 약 15.87%의 다운로드가 9초를 넘겨요.

Z-table 읽기

표준정규분포표(Z-table)는 \(P(Z \le z)\) 값을 미리 계산해둔 표예요. 보는 법만 익히면 한 번에 답이 나와요.

예시 ⓐ · \(P(Z \le 0.73)\) 찾기

1. \(z = 0.73\)을 0.7 + 0.03으로 나눠요.
2. 첫 열에서 0.7을 찾아 해당 행으로 가요.
3. 첫 행에서 0.03을 찾아 해당 열로 내려가요.
4. 교차점의 값을 읽어요 → 0.7673.

역방향 — 확률에서 z로

이번엔 반대예요. 확률이 먼저 주어지고, 그에 맞는 \(z\)값을 찾아야 해요.

예: \(P(Z \le z) = 0.73\) 이 되는 \(z\)는?

1. 표 내부에서 0.73에 가장 가까운 값을 찾아요.
2. 그 값이 있는 행(소수 첫째 자리)과 열(둘째 자리)을 읽어요.
3. 두 숫자를 더해요 → \(z\) 값이에요.

표에서 0.73에 가장 가까운 값은 0.7291이에요. 이 값은 행 0.6과 열 0.01의 교차점에 있어요.

실전 · 다운로드 99% 완료 시간

\(X \sim N(7, 2^2)\)에서 \(P(X \le x) = 0.99\) 인 \(x\)는?

1. \(P(Z \le z) = 0.99\) 가 되는 \(z\)를 찾아요 → \(z \approx\) 2.33.
2. 표준화 역공식: \(X = \mu + \sigma Z\) = 7 + 2 × 2.33.
3. \(x =\) 11.66초.

즉 약 11.66초가 지나면 99%의 다운로드가 끝나요.

실전 예시 모음

예시 1 · MyTVLab 다운로드 시간

\(X \sim N(7, 2^2)\). 평균 7초, 표준편차 2초의 다운로드 시간.

예시 2 · 호텔 객실 예약

배경: 동대문 호텔 객실 1000개. 설 연휴 취소 건수가 \(N(200, 50^2)\)를 따른대요. 오버부킹 200건을 허용했어요.

Q. 점유율이 95% 미만일 확률?

취소가 너무 많으면 객실이 남아요. 95% 미만은 곧 취소가 250건을 넘는 경우.

즉 점유율이 95%에 못 미칠 확률이 약 15.9%예요. 드물게 객실이 남는 날이 있다는 뜻이죠.

예시 3 · 스키 파카 생산 계획

Sport Obermeyer의 파카 수요는 \(N(1200, 130^2)\). 수요 충족 확률을 95%로 맞추려면?

1. \(P(Z \le z) = 0.95\) 인 \(z \approx\) 1.645.
2. \(X = 1200 + 130 \times 1.645 \approx\) 1414벌.
3. 즉 최소 1414벌을 생산하면 수요를 95% 확률로 감당해요.

다변량 정규분포 개요

지금까지는 정규 확률변수 하나를 다뤘어요. 다운로드 시간, 키, 점수처럼요.

현실에서는 변수가 여럿이에요.

호텔 체인이면 두 지점의 손님 수. 포트폴리오면 여러 주식의 수익률. 공장이면 여러 라인의 생산량이죠.

다음 세 챕터에서 하나씩 풀어봐요. 먼저 호텔 체인 예제로 상황을 잡고, 그다음 독립과 결합 정규 두 경우를 비교해요.

호텔 체인 예제

XYZ 호텔 체인이 있어요. 서울에 두 지점 — 동대문과 명동을 운영해요.

청소 스태프는 두 호텔이 함께 쓰는 풀로 200명. 관리자는 매번 이걸 몇 대 몇으로 나눌지 고민해요.

통계팀 보고에 따르면, 각 지점의 손님 수는 정규분포를 따른대요. 값은 아래와 같아요.

그리고 둘 사이엔 상관계수 \(\rho_{dm}\) = −0.65.

음의 상관이라는 건, 한 지점이 붐비면 다른 지점은 한가해지는 경향을 말해요. 서울 관광객이 같은 날 두 지점에 반반으로 쏠린다면 자연스러운 결과죠.

스태프 한 명이 방 6개 처리

각 스태프가 하루에 방 6개까지 처리한대요. 동대문에 90명, 명동에 110명을 배치했다고 해봐요.

지점별 부족 확률 · 표준화로 풀기

동대문. \(D \sim N(600, 80^2)\) 이니까:

표준정규에서 \(P(Z > -0.75) \approx\) 0.7734. 즉 동대문은 약 77% 확률로 인력 부족이에요. 사실상 거의 매일 바쁘다는 뜻.

명동. \(M \sim N(720, 50^2)\) 이니까:

\(P(Z > -1.2) \approx\) 0.8849. 명동은 약 88% 확률로 부족이에요. 명동 쪽이 더 자주 모자라요.

두 지점을 합치면 · \(P(D + M > 1200)\)?

총 \(200 \times 6 =\) 1200방이 하루 처리 한계예요. 부족 확률 = \(P(D + M > 1200)\).

여기서 질문이 나와요. \(D + M\)은 과연 정규분포일까요? 두 변수가 독립이 아니라 음의 상관이 있으니까, 답이 궁금해요.

독립인 정규의 합

가장 깔끔한 경우부터 살펴봐요. 두 정규 변수가 독립일 때예요.

정규 + 정규 = 정규. 모양이 무너지지 않아요. 이게 정규분포의 강력한 성질 중 하나예요.

평균과 분산 구하기

\(W = aX + bY\) 라고 둘게요.

평균은 그냥 가중합이에요. 쉬워요.

독립이니까 공분산 항은 0이라서 사라져요. 분산도 가중합. 단, 계수는 제곱이 붙어요.

예시 · 독립 호텔 체인을 가정해봐요

실제 호텔은 상관이 있지만, 만약 독립이라면 어떻게 되는지 먼저 연습. \(D \sim N(600, 80^2)\), \(M \sim N(720, 50^2)\), 독립 가정.

평균. \(E[D + M] = 600 + 720 =\) 1320.

분산. \(\text{Var}[D + M] = 80^2 + 50^2 = 6400 + 2500 =\) 8900.

표준편차. \(\sqrt{8900} \approx\) 94.3.

즉 독립 가정 하에서 \(D + M \sim N(1320, 94.3^2)\). 이제 표준화로 부족 확률을 뽑을 수 있어요.

\(P(Z > -1.27) \approx\) 0.898. 독립이라면 약 90% 확률로 총합이 1200을 넘어요.

결합 정규의 합

현실의 두 호텔은 독립이 아니에요. 상관이 있어요(\(\rho = -0.65\)). 그래도 합이 정규일까요?

결합 정규면 어떤 선형결합도 정규예요. 독립이 아니어도 이 성질은 유지돼요.

분산에 공분산 항이 붙어요

평균 공식은 전과 같아요.

분산이 달라져요. \(2ab \cdot \text{Cov}[X, Y]\) 항이 추가돼요.

상관계수로 다시 쓰면 이렇게.

공분산 \(\text{Cov}[X, Y] = \sigma_X \sigma_Y \cdot \rho_{XY}\) 를 대입한 것뿐이에요.

호텔 예제 · \(D + M\) 제대로 풀기

이제 \(\rho_{dm} = -0.65\) 를 반영해서 합의 분산을 구해봐요. \(a = b = 1\).

하나씩 계산해요.

1. \(80^2 =\) 6400.
2. \(50^2 =\) 2500.
3. \(2 \times 80 \times 50 \times (-0.65) =\) −5200.
4. 합: \(6400 + 2500 - 5200 =\) 3700.

표준편차는 \(\sqrt{3700} \approx\) 60.83. 즉 \(D + M \sim N(1320, 60.83^2)\).

인력 부족 확률 재계산

\(P(Z > -1.97) \approx\) 0.976. 무려 97.6% 확률로 총합이 1200을 넘어요.

평균(1320)이 용량(1200)보다 이미 크고, \(\sigma\)도 작아서 거의 확정적으로 초과해요. 즉 스태프 풀 자체를 늘려야 하는 신호예요.

한 걸음 더 · 어느 쪽이 더 많을까?

질문: \(P(D > M) = ?\) 즉 동대문 손님이 명동보다 많을 확률이에요.

\(W = D - M\) 이라고 두고 결합 정규의 성질을 써요. \(a = 1, b = -1\).

1. \(E[W] = 600 - 720 =\) −120. 평균으로는 명동이 120명 더 많아요.
2. \(\text{Var}[W] = 80^2 + (-1)^2 \cdot 50^2 + 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 80 \cdot 50 \cdot (-0.65) = 6400 + 2500 + 5200 =\) 14,100.
   음수 계수 × 음의 상관 = 양수. 차의 분산이 커졌어요.
3. \(\sigma_W = \sqrt{14{,}100} \approx\) 118.7.
4. \(P(W > 0) = P(Z > (0 - (-120))/118.7) = P(Z > 1.01) \approx\) 0.156.

동대문이 명동보다 많을 확률은 약 15.6%예요. 평균이 낮으니 드문 일이지만, 상관 덕에 변동이 커서 가끔은 역전도 가능해요.

맺는 글

오늘 우리는 통계의 주인공 정규분포를 만났어요. 처음엔 낯선 수식이었지만, 이제는 종 곡선의 이야기가 친숙해졌을 거예요.

오늘 배운 것

• 연속 확률변수의 PDF와 "면적 = 확률" 원리
• 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2)\)의 종 모양과 네 가지 성질
• \(\mu\)는 위치를, \(\sigma\)는 퍼짐을 조절
• 68-95-99.7 경험 법칙
• 표준정규분포 \(Z \sim N(0, 1)\)
• 표준화 공식 \(Z = (X - \mu)/\sigma\)
• Z-table 읽기와 역방향 찾기
• MyTVLab, 호텔, 스키 파카의 실전 응용
• 다변량 정규 · 호텔 체인 예제
• 독립 정규의 합 — 공분산 = 0
• 결합 정규의 합 — \(2 \cdot \text{Cov}\) 항까지 포함

다음 주 예고 · 표본분포와 중심극한정리

정규분포가 왜 이렇게 중요할까요? 6강에서 밝혀질 중심극한정리(CLT)가 그 이유예요.

충분히 많은 표본을 모으면, 원래 분포가 무엇이든 표본평균은 정규분포에 가까워져요. 이게 통계학의 가장 아름다운 비밀이에요.