BIT500 · Management Statistical Analysis
연습문제 1 풀이 노트 — 시험에 나온다고 강조하신 그 문제들
교수님께서 직접 내신 연습문제 1번을, 강의 흐름 그대로 풀어볼게요.
4 ~ 7장을 한 번에 복습할 수 있는 총정리 코너예요.
한 문제 한 문제, 식과 직관을 함께 따라가 봐요.
시작하며 · 이 페이지를 활용하는 법
이 페이지는 강의 PDF의 “연습문제 1 (배포용)”을 풀이하는 곳이에요. 교수님이 “이걸 토대로 시험 문제도 많이 낸다”고 말씀하신 만큼, 한 문제도 빠뜨리지 않고 차근차근 풀어볼 거예요.
4장 · 베이즈 정리 — 스마트폰 터치스크린 부품 추론 문제
5장 · 결합분포 — 코로나 vs 삿포로 맥주 (a·b·c·d 4문제)
6장 · 정규분포 — 식사비, 두 지역 학생 지출 (Q1~Q4)
7장 · 표본분포 & CLT — 표본평균과 표본비율 (Q1·Q2)
① 문제를 먼저 한번 읽고,
② 풀이 단계를 따라가며 손으로 적어보고,
③ 시험 답안 박스에서 깔끔하게 정리하기.
외우지 말고, 한 줄씩 따라가 보세요.
그러면 시험장에서 똑같이 풀 수 있어요.
스마트폰 터치스크린이 누구 부품일까
ABC 전자의 스마트폰 모델 Z는 터치 스크린을 외부에서 공급받아요. 부품의 20%는 업체 X, 80%는 업체 Y에서 옵니다.
X 부품을 쓴 폰은 1년 후 80%가 고장 나고, Y 부품은 10%만 고장 나요.
당신이 1년 넘게 쓴 폰의 터치가 오늘 안 된다는 걸 알았다고 할 때, 그 부품은 X와 Y 중 어느 쪽일 가능성이 더 높을까요?
한 문장으로 본질 잡기
베이즈 정리는 한마디로 이래요. “겉으로 드러난 결과(메시지)를 보고, 숨어 있는 진짜 원인(진실)을 거꾸로 추론하는 방법.”
진실(원인) — 실제로 어느 업체 부품이었는가. 우리는 모름.
메시지(결과) — 고장이 났다는 관찰. 우리는 이것만 알아요.
메시지 ⟶ 진실. 이게 바로 베이즈가 하는 일이에요.
\(P(U \mid X)\): \(X\) 부품이면 고장 날 확률
\(P(X \mid U)\): 고장났다면 \(X\) 부품일 확률
1단계 · 기호부터 정리
| 기호 | 의미 |
|---|---|
| \(X\) | \(X\) 업체 부품을 사용함 |
| \(Y\) | \(Y\) 업체 부품을 사용함 |
| \(U\) | 고장이 났다 (Unable to work) |
| \(P(X), P(Y)\) | 해당 부품을 쓸 사전 확률 |
| \(P(U \mid X)\) | \(X\) 부품일 때 고장 날 확률 — 주어진 값 |
| \(P(X \mid U)\) | 고장 났을 때 \(X\) 부품일 확률 — 구할 값 |
문제는 \(P(U \mid X)\)를 줘요. ("\(X\)면 고장")
우리는 \(P(X \mid U)\)를 알고 싶어요. ("고장이면 \(X\)")
화살표가 거꾸로 돌아간 셈이라, 베이즈 공식이 필요한 거예요.
2단계 · 주어진 값 정리
\(P(U \mid X) = 0.80\) · \(P(U \mid Y) = 0.10\)
3단계 · 교집합 \(P(U \cap X)\) 만들기
"\(X\) 부품인 동시에 고장도 난" 경우의 확률은 곱셈으로 풀려요.
같은 식으로 \(Y\)쪽도 구하면:
4단계 · 전체 고장 확률 \(P(U)\)
고장 나는 길은 두 가지뿐이에요. 둘을 더하면 끝.
5단계 · 베이즈로 답 구하기
나머지 \(Y\)쪽도 계산해 보면:
고장이 났다면 \(X\) 부품일 확률 \(\approx 66.7\%\), \(Y\) 부품일 확률 \(\approx 33.3\%\).
즉, \(X\) 업체 부품일 가능성이 더 높아요.
100대로 다시 보면 (직관 체크)
혹시 식이 어색하면 100대로 상상해 봐요.
| 구분 | 대수 | 고장률 | 고장난 대수 |
|---|---|---|---|
| \(X\) 부품 | 20대 | 80% | 16대 |
| \(Y\) 부품 | 80대 | 10% | 8대 |
| 합계 | 100대 | — | 24대 고장 |
고장난 24대 중 \(X\) 부품은 16대 → \(16/24 \approx\) 66.7%. 똑같죠!
여집합까지 보면 더 선명해져요
ques.md에서 정리한 것처럼, 이 문제는 고장났을 때뿐 아니라
고장나지 않았을 때를 같이 보면 베이즈 감각이 훨씬 좋아져요.
고장이 나지 않았다는 메시지는 X보다 Y 쪽으로 강하게 기울어지거든요.
\(X\)의 여집합
부품 업체가 \(X\)와 \(Y\)뿐이라면 \(X^c\)는 곧 \(Y\)예요.
\(P(X^c) = P(Y) = 0.80\)
\(U\)의 여집합
\(U\)가 고장이라면 \(U^c\)는 고장나지 않음이에요.
\(P(U^c \mid X) = 0.20\), \(P(U^c \mid Y) = 0.90\)
고장났다면 \(X\)일 확률은 약 66.7%였지만, 고장나지 않았다면 \(X\)일 확률은 약 5.26%까지 내려가요. 같은 부품 정보라도 관찰한 메시지가 바뀌면 결론이 완전히 달라지는 게 베이즈의 핵심입니다.
코로나 검사 키트와 똑같아요.
"검사 결과가 양성"이라는 메시지를 보고, 진짜 감염 여부를 추론하는 일이 베이즈예요. 양성이라고 해서 무조건 감염은 아니지만, 양성일 때 감염일 확률이 얼마인지를 계산할 수 있어요.
\(X\) = \(X\) 부품 사용 사건, \(U\) = 고장 사건이라 하자. 주어진 값:
\(P(X) = 0.2\), \(P(Y) = 0.8\), \(P(U \mid X) = 0.8\), \(P(U \mid Y) = 0.1\)
베이즈 정리에 의해
\(P(X \mid U) = P(U \cap X) / P(U)\)
\(= P(X)P(U \mid X) / [P(X)P(U \mid X) + P(Y)P(U \mid Y)]\)
\(= (0.2 \cdot 0.8) / (0.2 \cdot 0.8 + 0.8 \cdot 0.1)\)
\(= 0.16 / 0.24 \approx 0.667\)
따라서 \(X\) 부품일 확률(\(\approx 66.7\%\))이 \(Y\) 부품일 확률(\(\approx 33.3\%\))보다 크다.
코로나와 삿포로는 독립일까
한 상점이 코로나 맥주(\(X\))와 삿포로 맥주(\(Y\))를 팝니다. 두 수요의 결합분포가 아래 표예요.
| \(Y \setminus X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | \(P(Y)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.01 | 0.03 | 0.06 | 0.09 | 0.19 |
| 1 | 0.02 | 0.06 | 0.12 | 0.09 | 0.29 |
| 2 | 0.03 | 0.12 | 0.06 | 0.09 | 0.30 |
| 3 | 0.04 | 0.09 | 0.06 | 0.03 | 0.22 |
| \(P(X)\) | 0.10 | 0.30 | 0.30 | 0.30 | 1.00 |
표 안쪽 숫자는 두 일이 동시에 일어날 확률이에요. 예를 들어 \(P(X=1, Y=3) = 0.09\)는 “코로나 1개, 삿포로 3개가 같이 팔릴 확률이 9%”라는 뜻입니다.
표의 아래쪽 \(P(X)\)는 코로나만 따로 본 확률, 오른쪽 \(P(Y)\)는 삿포로만 따로 본 확률이에요. 그래서 이름이 주변확률입니다. 표의 가장자리, 즉 주변에 있죠.
독립이란?
"코로나가 1개 팔렸다는 사실을 알아도, 삿포로가 3개 팔릴 확률이 그대로면" 독립. 반대로 그 확률이 바뀌면 독립이 아니에요.
판정법 ① — 조건부 확률 방식
독립이라면 다음이 성립해야 해요.
교수님이 칠판에서 직접 확인하신 값: \(P(Y=3 \mid X=1)\).
그런데 주변확률은 \(P(Y=3) =\) 0.22예요. 두 값이 다르죠?
\(0.30 \ne 0.22\) 이므로 \(P(Y=3 \mid X=1) \ne P(Y=3)\).
\(X\)와 \(Y\)는 독립이 아니에요.
판정법 ② — 곱셈 공식 방식
독립이면 또 다른 방식으로도 확인할 수 있어요.
교수님이 보신 칸: \(X = 2, Y = 2\).
독립이면: \(P(X=2) \times P(Y=2) = 0.30 \times 0.30 = 0.09\)
\(0.06 \ne 0.09\) 이므로 곱셈 공식 위배.
역시 독립이 아니에요.
두 판정법은 사실 같은 말
조건부 확률 정의:
독립이면 \(P(Y \mid X) = P(Y)\) 이므로 양변에 \(P(X)\)를 곱하면 \(P(X \cap Y) = P(X)P(Y)\). 두 식이 자연스럽게 변환돼요.
"모두가 숙제를 했다"의 반례.
"전원이 했다"를 부정하려면 안 한 사람 한 명만 찾으면 끝이죠. 독립도 그래요. 16개 칸 중 한 칸만 어긋나도 "독립이 아님" 결론이 가능해요.
\(X\) = 코로나 수요, \(Y\) = 삿포로 수요로 두자.
독립이면 \(P(Y=3 \mid X=1) = P(Y=3)\)이어야 한다.
\(P(X=1, Y=3) = 0.09\), \(P(X=1) = 0.30\) 이므로
\(P(Y=3 \mid X=1) = 0.09/0.30 = 0.30\).
반면 \(P(Y=3) = 0.22\).
\(\therefore 0.30 \ne 0.22\)이므로 \(X, Y\)는 독립이 아니다.
코로나(\(X\))와 삿포로(\(Y\))는 독립이 아니다.
근거: \(P(Y=3 \mid X=1) = 0.30 \ne 0.22 = P(Y=3)\). 한쪽 정보가 다른 쪽 확률을 바꾸므로 독립의 정의 위배.
두 맥주의 평균과 분산
코로나(\(X\))와 삿포로(\(Y\)) 수요 각각의 평균과 분산을 구하시오.
주변확률만 있으면 끝
코로나 \(X\)
\(P(X=0) = 0.10\), \(P(X=1) = 0.30\),
\(P(X=2) = 0.30\), \(P(X=3) = 0.30\)
삿포로 \(Y\)
\(P(Y=0) = 0.19\), \(P(Y=1) = 0.29\),
\(P(Y=2) = 0.30\), \(P(Y=3) = 0.22\)
평균 \(E[X], E[Y]\)
분산 — 두 가지 방법
교수님이 두 가지 방식을 모두 보여주셨어요.
방법 ① 정의식
\(\mathrm{Var}[X] = E[(X - E[X])^2]\)
→ 분산의 의미가 잘 보이는 식이에요. "평균에서 떨어진 거리의 제곱의 평균."
방법 ② 빠른 공식
\(\mathrm{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2\)
→ 계산이 빨라서 시험에서는 보통 이 식을 써요.
\(E[X]\)는 “\(X\)의 평균을 구하라”, \(\mathrm{Var}[X]\)는 “\(X\)의 분산을 구하라”는 뜻이에요. \(E[Y^2]\)는 “\(Y\)를 먼저 제곱한 뒤, 그 값들의 평균을 구하라”는 뜻입니다.
즉 대괄호는 새로운 마법 기호가 아니라, 무엇의 평균/분산을 구하는지 감싸 보여주는 표시예요.
코로나 \(X\) 분산 (방법 ②)
정의식으로도 한 번 느껴보기 (\(X\))
계산은 빠른 공식이 편하지만, 분산의 뜻은 정의식에서 더 잘 보여요. \(X\)의 평균 1.80에서 각 값이 얼마나 떨어져 있는지 제곱해서 확률로 가중평균합니다.
\((1-1.80)^2 \times 0.30 = 0.192\)
\((2-1.80)^2 \times 0.30 = 0.012\)
\((3-1.80)^2 \times 0.30 = 0.432\)
합계 = 0.96
삿포로 \(Y\) 분산 (방법 ②)
방법 ①로 검산해보기 (\(Y\))
의심 많은 분을 위해 정의식으로도 같은 결과 나오는지 확인.
\((1-1.55)^2 \times 0.29 = 0.087725\)
\((2-1.55)^2 \times 0.30 = 0.060750\)
\((3-1.55)^2 \times 0.22 = 0.462550\)
합계 = 1.0675 ✓
최종 답
| 변수 | 평균 \(E\) | 분산 \(\mathrm{Var}\) |
|---|---|---|
| 코로나 \(X\) | 1.80 | 0.96 |
| 삿포로 \(Y\) | 1.55 | 1.0675 |
코로나 \(X\): \(E[X] = 1.80\), \(\mathrm{Var}[X] = 0.96\) → 표준편차 \(\sigma_X = \sqrt{0.96} \approx 0.9798\)
삿포로 \(Y\): \(E[Y] = 1.55\), \(\mathrm{Var}[Y] = 1.0675\) → 표준편차 \(\sigma_Y \approx 1.0332\)
공분산과 상관계수
코로나와 삿포로 수요 사이의 공분산과 상관계수는?
공분산이 뭐였더라
+면 같이 오르고 같이 내림. −면 반대로 움직임. 0 근처면 직선적 관계가 약함.
두 가지 공식
① 정의식
\(\mathrm{Cov}[X,Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]\)
② 빠른 공식
\(\mathrm{Cov}[X,Y] = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]\)
\(E[XY]\) 계산하기
16칸을 일일이 계산해서 더해요. 다행히 \(Y=0\) 행은 모두 0이라 빼고 시작.
\(E[X]\)가 \(x\)값에 \(P(X=x)\)를 곱해 더하는 것처럼, \(E[XY]\)는 두 수요를 곱한 값 \(xy\)에 그 조합이 나올 확률 \(P(x,y)\)를 곱해 더합니다.
예를 들어 \(X=2, Y=3\)이면 그날 두 수요의 곱은 6이고, 이 조합의 확률은 0.09라서 \(E[XY]\)에 \(6 \times 0.09\)만큼 기여해요.
\(Y=2\) 행: \(0 + 0.24 + 0.24 + 0.54 = 1.02\)
\(Y=3\) 행: \(0 + 0.27 + 0.36 + 0.27 = 0.90\)
\(E[XY] = 0 + 0.57 + 1.02 + 0.90 = 2.49\)
공분산 계산
공분산이 음수예요. 코로나가 많이 팔릴 때 삿포로는 조금 덜 팔리는 경향. (재미있게 비유하자면, "한 사람당 맥주 예산은 한정돼 있어서 한쪽이 많아지면 다른 쪽이 줄어드는" 그림.)
상관계수 \(\rho\)
공분산은 단위에 따라 크기가 들쭉날쭉해서, 단위 영향을 없앤 표준화 버전이 상관계수예요.
\(\sigma_Y = \sqrt{1.0675} \approx 1.0332\)
분모 \(= 0.9798 \times 1.0332 \approx 1.0124\)
해석
| \(\rho\) | 해석 |
|---|---|
| +1에 가까움 | 강한 양의 직선 관계 |
| 0 근처 | 관계가 약함 |
| 우리 결과 \(\approx -0.30\) | 약한 음의 관계 |
| \(-1\)에 가까움 | 강한 음의 직선 관계 |
그러니까 "살짝 반대로 움직이는 두 맥주"라고 보면 돼요. 강하진 않아요.
공분산 \(\mathrm{Cov}[X, Y] = -0.30\) — 음수, 약한 역방향 관계.
상관계수 \(\rho_{XY} \approx -0.296\) — 약한 음의 직선 관계 (\(-1\)도 \(0\)도 아닌 중간).
해석: 코로나가 많이 팔리는 날 삿포로는 조금 덜 팔리는 경향이 있지만, 그 관계가 강하지는 않음.
\(E[XY] = \sum\sum xy P(x,y) = 2.49\)
\(\mathrm{Cov}[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = 2.49 - (1.80)(1.55) = -0.30\)
\(\sigma_X = \sqrt{0.96} , \sigma_Y = \sqrt{1.0675}\)
\(\rho = \mathrm{Cov}[X,Y] / (\sigma_X \sigma_Y) = -0.30 / (\sqrt{0.96} \cdot \sqrt{1.0675}) \approx\) \(-0.296\)
총 수요 \(X+Y\)의 평균과 분산
코로나와 삿포로의 총 수요 \(X + Y\)의 평균과 분산은?
평균은 그냥 더하기
평균은 독립이든 아니든 항상 더하기 OK예요. "기댓값의 선형성"이라고 부르는 성질이죠.
분산은 공분산을 잊지 마세요
분산은 단순히 더하면 안 돼요. 공분산이 살아 있거든요.
독립이라면 \(\mathrm{Cov} = 0\)이어서 단순 합 OK. 하지만 이번엔 \(\mathrm{Cov} = -0.30\)이라 0이 아니에요.
숫자 대입
공분산이 음수라서요. 한쪽이 많으면 다른 쪽이 적은 상쇄 효과가 생겨서, "총합"은 둘을 따로 본 것보다 덜 흔들려요.
최종 답
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 총 수요 평균 \(E[X+Y]\) | 3.35 |
| 총 수요 분산 \(\mathrm{Var}[X+Y]\) | 1.4275 |
\(E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 1.80 + 1.55 =\) 3.35
\(\mathrm{Var}[X+Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] + 2\,\mathrm{Cov}[X,Y]\)
\(= 0.96 + 1.0675 + 2(-0.30)\)
\(=\) 1.4275
총 수요 \(X + Y\)의 평균: \(E[X+Y] = 3.35\)
총 수요 \(X + Y\)의 분산: \(\mathrm{Var}[X+Y] = 1.4275\)
분산을 단순 합 \(0.96 + 1.0675 = 2.0275\)과 비교하면, 음의 공분산 효과로 약 \(0.60\)이 깎임.
식사비 20,000원 미만의 비율
서울 대학생 주간 식사비가 평균 30,000원, 표준편차 6,000원의 정규분포라고 하자. 20,000원 미만 학생의 비율은?
1단계 · 분포 정리
X ~ N(30000, 6000²) · 평균 30000, 표준편차 6000
−2\(\sigma\)
약 −1.67\(\sigma\)
−1\(\sigma\)
평균
+1\(\sigma\)
+2\(\sigma\)
표준편차 6,000원은 “평균에서 보통 흔들리는 한 칸”이라고 보면 돼요. 20,000원은 평균보다 10,000원 낮으니, 6,000원짜리 한 칸보다 더 왼쪽에 있습니다.
2단계 · 표준화
정규분포 표는 표준정규 Z(평균 0, 분산 1)에 대해서만 알려줘요. 그래서 X를 Z로 바꿔요.
20,000원에 해당하는 z값을 찾아요.
3단계 · 표 보기
표준정규분포표에서 \(z = -1.67\)에 해당하는 왼쪽 꼬리 면적을 찾아요.
표 읽기 요령: 표는 \(z \ge 0\)인 경우만 보통 제공해요. \(z = -1.67\)은 음수니까 대칭성을 이용 — \(P(Z < -1.67) = 1 - P(Z < 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475\).
주간 식사비 20,000원 미만 학생 비율 \(\approx\) 0.0475 = 4.75%
풀이 흐름: \(X = 20{,}000\) → 표준화 \(z = -1.67\) → 표 조회 → \(P(Z < -1.67) \approx 0.0475\).
해석: 대학생 100명 중 약 5명만 식비가 2만원 미만 — 평균(3만원)에서 −1.67σ만큼 멀어 꽤 드문 경우.
왜 이렇게 작은가?
20,000원은 평균 30,000원에서 10,000원 아래. 표준편차 단위로 보면 −1.67 표준편차예요. 꽤 왼쪽 꼬리라 비율이 작은 거죠.
하위 40% 지점의 식사비는?
식사비 x원 미만인 학생이 전체의 40%일 때, x는 얼마인가?
Q1과 Q2의 차이
| 구분 | Q1 | Q2 |
|---|---|---|
| 주어진 것 | 금액 20,000원 | 확률 40% |
| 구할 것 | 비율 (확률) | 금액 x |
| 흐름 | X → z → P | P → z → X |
40%가 어디인지 직관 잡기
평균 왼쪽이 50%니까, 40%는 평균보다 살짝 왼쪽이에요. → x < 30,000.
Q1은 “20,000원이 주어졌을 때 왼쪽 면적이 얼마냐?”였고, Q2는 “왼쪽 면적이 40%가 되려면 금액이 얼마냐?”예요.
그래서 표를 앞에서 읽는 문제가 아니라, 확률 0.40을 먼저 찾고 z값을 거꾸로 읽는 문제입니다.
Z값 거꾸로 찾기
왼쪽 면적 0.40을 만드는 z값을 표준정규분포표에서 찾는 단계는 두 번 꼬여 있어요.
① 표는 양수 z만 있다. 0.40은 평균 왼쪽이라 z가 음수. 대신 대칭으로 "오른쪽 면적 0.60 = 왼쪽 면적 0.60"을 만드는 양수 z를 먼저 찾기.
② 표에서 0.60 가까운 행 찾기. \(P(Z \le 0.25) = 0.5987 \approx 0.60\). 즉 양수 z \(\approx\) 0.25.
③ 대칭 적용. 왼쪽 면적 0.40을 만드는 z = −(양수 z) = −0.25.
금액 x 풀기
이제 표준화 식을 거꾸로 풀어요. \(z = (X - \mu)/\sigma\)에서 \(X\)를 분리.
z = −0.253 사용 → x \(\approx\) 30000 − 1518 \(\approx\) 28,480원. 교수님 판서 기준으로 답안에는 약 28,500원으로 쓰면 돼요.
P(X < x) = 0.40 ⇒ 표준정규분포표에서 왼쪽 면적이 0.40이 되는 z \(\approx\) −0.25.
(x − 30000)/6000 = −0.25 ⇒ x = 30000 − 0.25(6000) = 28,500원
하위 40% 지점 식사비: 약 28,500원 (정밀 값 ≈ 28,480원)
풀이 흐름: 확률 0.40 → 대칭 이용해 양수 z 찾기 → z ≈ −0.25 → \(x = 30{,}000 + (-0.25)(6{,}000) = 28{,}500\).
"A 학생 지출이 B의 2배 이상일 확률"
A 지역 학생 일일 지출 X ~ N(9000, 1500²), B 지역 학생 일일 지출 Y ~ N(8000, 2500²). 두 학생은 독립.
P(X \(\ge\) 2Y) = ?
식 다시 쓰기
"X \(\ge\) 2Y"는 양변에서 2Y를 빼면 X − 2Y \(\ge\) 0. 새 변수 D를 만들어요.
정규분포의 선형결합도 정규분포라는 사실이 결정적이에요. 그래서 D 자체가 정규분포를 따른다는 보장이 있어요.
X와 Y를 따로 보면 “A가 B의 2배 이상”이라는 문장이 계속 불편해요. D = X − 2Y라고 이름을 붙이면 문제는 딱 하나로 줄어요.
D가 0보다 크면 성공, 0보다 작으면 실패. 이제는 평범한 정규분포 꼬리 확률 문제가 됩니다.
D의 평균
평균이 음수라는 건, "보통은 X가 2Y에 못 미친다"는 사실을 의미해요. 그럼에도 흔들림으로 0 위로 갈 확률을 묻는 거죠.
D의 분산 (독립이라 깔끔)
중요한 두 규칙.
① 상수 곱
Var[aY] = a² Var[Y]
→ Var[2Y] = 4 Var[Y]
② 독립이면 합
Var[X − 2Y] = Var[X] + Var[2Y]
→ 부호가 −여도 분산은 더해요.
표준화 후 표 찾기
P(X \(\ge\) 2Y) \(\approx\) 0.0901 \(\approx\) 약 9%
A 평균(9,000)은 B 평균의 2배(16,000)보다 한참 작으니, 2배 넘기는 일은 흔치 않아요.
D = X − 2Y로 두면 P(X \(\ge\) 2Y) = P(D \(\ge\) 0).
E[D] = 9000 − 2(8000) = −7000.
독립이므로 Var[D] = Var[X] + 4Var[Y] = 1500² + 4(2500²) = 27,250,000.
\(\sigma_{D} \approx\) 5220.
z = (0 − (−7000))/5220 \(\approx\) 1.34.
P(D \(\ge\) 0) = P(Z \(\ge\) 1.34) = 1 − 0.9099 \(\approx\) 0.0901.
합집합 확률 P(X \(\ge\) 9000 \(\cup\) Y < 8000)
X ~ N(9000, 1500²), Y ~ N(8000, 2500²), 독립.
P(X \(\ge\) 9000 \(\cup\) Y < 8000) = ?
"또는" 공식 ①
왜 빼냐고요? A와 B가 동시에 일어난 부분이 두 번 더해졌기 때문에 한 번 빼주는 거예요.
A 학생 지출이 평균 이상
B 학생 지출이 평균 미만
각 사건의 확률
A = {X \(\ge\) 9000}
X의 평균이 정확히 9000 → 정규분포 좌우 대칭
→ P(A) = 0.5
B = {Y < 8000}
Y의 평균이 정확히 8000 → 좌우 대칭
→ P(B) = 0.5
경계값이 그 변수의 평균이라서요. 평균을 기준으로 좌우 면적이 정확히 50:50.
교집합 (독립 ⇒ 곱)
합집합 계산
P(X \(\ge\) 9000 \(\cup\) Y < 8000) = 0.75 = 75%
1 − P(둘 다 아닌 경우)로도 풀 수 있어요.
둘 다 안 일어난 사건 = (X < 9000 \(\cap\) Y \(\ge\) 8000), 그 확률 = 0.5 × 0.5 = 0.25.
그래서 P(A \(\cup\) B) = 1 − 0.25 = 0.75. 같은 답!
A = {X \(\ge\) 9000}, B = {Y < 8000}. P(A) = P(B) = 0.5 (평균 기준 대칭).
독립이므로 P(A \(\cap\) B) = 0.5 × 0.5 = 0.25.
P(A \(\cup\) B) = P(A) + P(B) − P(A \(\cap\) B) = 0.5 + 0.5 − 0.25 = 0.75.
표본평균의 분포
\(X_{1}\), …, \(X_{100}\)이 \(\mu\)=100, \(\sigma\)=20인 모집단에서 무작위 추출. \(\bar{X}\)가 표본평균.
(a) \(\bar{X}\)의 기대값과 표준편차
(b) 표준오차는?
(c) P(\(\bar{X}\) < 95)와 P(95 < \(\bar{X}\) < 105)
표본평균의 두 핵심 공식
E[\(\bar{X}\)] = \(\mu\)
표본평균의 평균은 모평균과 같다. 편향 없음.
SD[\(\bar{X}\)] = \(\sigma\)/\(\sqrt{n}\)
표본 크기 n이 커지면 흔들림이 \(\sqrt{n}\) 비율로 줄어요.
한 번 100개를 뽑아 평균을 내면 \(\bar{X}\)가 하나 나옵니다. 그런데 표본을 다시 뽑으면 평균이 98일 수도, 102일 수도 있어요.
그래서 \(\bar{X}\)는 고정된 숫자가 아니라 표본을 뽑을 때마다 달라지는 평균이고, 그 평균들이 어떤 분포로 흩어지는지를 보는 게 7장의 핵심입니다.
(a) 답
SD[\(\bar{X}\)] = \(\sigma\)/\(\sqrt{n}\) = 20/\(\sqrt{100}\) = 20/10 = 2
Var[\(\bar{X}\)] = (20)²/100 = 4
한 사람의 키는 들쭉날쭉하지만, 100명 평균의 키는 안정적이에요. "여러 명의 평균은 덜 흔들린다"는 자연스러운 직관.
(b) 표준오차
표준오차(Standard Error, SE)는 표본평균의 표준편차예요. (a)에서 이미 구했어요.
| 이름 | 의미 | 이 문제 값 |
|---|---|---|
| 표준편차 \(\sigma\) | 개별 X의 흔들림 | 20 |
| 표준오차 SE | 표본평균 \(\bar{X}\)의 흔들림 | 2 |
(c) 두 확률 계산
n = 100이라 CLT 적용. \(\bar{X} \approx\) N(100, 2²). 표준화하면 Z = (\(\bar{X}\) − 100)/2.
① P(\(\bar{X}\) < 95)
② P(95 < \(\bar{X}\) < 105)
(a) E[\(\bar{X}\)] = 100, SD[\(\bar{X}\)] = 2
(b) SE = 2
(c) P(\(\bar{X}\) < 95) \(\approx\) 0.62%, P(95 < \(\bar{X}\) < 105) \(\approx\) 98.76%
해석. 모평균이 100인 세상에서, 100명 평균이 95~105 안에 들어올 확률이 무려 98.76%. 반대로 95 미만으로 떨어질 확률은 1%도 안 돼요. "표본이 모평균을 정말 잘 대표한다"는 신호예요.
표본비율 \(\bar{p}\) — 같은 n인데 왜 표준오차가 다를까
k-shop.com 방문 → 구매 확률 p. 100회 방문에서 구매 비율을 \(\bar{p}\)라 하자.
(a) p = 0.45일 때 E[\(\bar{p}\)], SD[\(\bar{p}\)]
(b) p = 0.15일 때 E[\(\bar{p}\)], SD[\(\bar{p}\)]
(c) 같은 n인데 왜 표준오차가 다른가?
표본비율의 공식
| 기호 | 뜻 | 예시 |
|---|---|---|
| p | 진짜 구매 확률, 모비율 | 실제 구매 확률 45% |
| \(\bar{p}\) | 100번 방문에서 관찰된 구매 비율 | 100번 중 47번 구매 → 0.47 |
E[\(\bar{p}\)] = p
표본비율의 평균은 모비율과 같다.
SD[\(\bar{p}\)] = \(\sqrt{p(1-p)/n}\)
"베르누이의 분산 p(1−p)"를 n으로 나눠 √.
(a) p = 0.45, n = 100
SD[\(\bar{p}\)] = \(\sqrt{0.002475} \approx\) 0.0497
(b) p = 0.15, n = 100
SD[\(\bar{p}\)] = \(\sqrt{0.001275} \approx\) 0.0357
(c) 같은 n인데 왜 다르지?
식을 다시 보면 답이 보여요.
n은 같으니, 차이는 p(1−p)에서 옵니다.
| p | 1−p | p(1−p) |
|---|---|---|
| 0.10 | 0.90 | 0.0900 |
| 0.15 | 0.85 | 0.1275 |
| 0.45 | 0.55 | 0.2475 |
| 0.50 | 0.50 | 0.2500 ← 최대 |
| 0.90 | 0.10 | 0.0900 |
p(1−p)는 p = 0.5에서 최대.
즉 "p가 클수록 표준오차가 크다"가 아니라, "p가 0.5에 가까울수록 표준오차가 크다"가 정확한 표현.
동전 던지기 직관.
p = 0.5 (앞·뒤 반반) — 결과 예측이 가장 어렵다 → 흔들림 최대.
p = 0.9 (거의 앞면) — 결과가 거의 정해져 있다 → 흔들림 작음.
p = 0.1 (거의 뒷면) — 마찬가지로 흔들림 작음.
이 문제에서 0.45는 0.5에 매우 가깝고, 0.15는 멀어요. 그래서 (a)가 (b)보다 표준오차가 커요.
표본 크기 n이 같아도 표준오차는 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)에서 p의 영향을 받는다. p(1−p)는 p = 0.5에서 최대이므로, p가 0.5에 가까울수록 표준오차가 커진다.
여기서 p = 0.45는 p = 0.15보다 0.5에 더 가까워, p(1−p)가 크다(0.2475 vs 0.1275). 따라서 (a)의 표준오차가 (b)보다 크다.
(a) p=0.45, n=100: \(E[\bar{p}] = 0.45\), \(SD[\bar{p}] \approx 0.0497\)
(b) p=0.15, n=100: \(E[\bar{p}] = 0.15\), \(SD[\bar{p}] \approx 0.0357\)
(c) 같은 n인데 SD가 다른 이유: \(p(1-p)\)가 \(p = 0.5\)에서 최대이므로, \(0.5\)에 더 가까운 \(p=0.45\)의 표본비율 분포가 더 넓게 흔들린다. (0.45×0.55 = 0.2475 > 0.15×0.85 = 0.1275)
맺으며 · 한 페이지 총정리
10가지 문제, 한 줄씩 다시 보기
| 문제 | 핵심 식 | 최종 답 |
|---|---|---|
| 4장 베이즈 | P(X|U) = P(X)P(U|X) / P(U) | \(\approx\) 0.667 (X가 더 높음) |
| 5a 독립 | P(X\(\cap\)Y) ?= P(X)P(Y) | 독립 아님 |
| 5b 평균·분산 | Var = E[X²] − (E[X])² | E=1.80,1.55 / Var=0.96,1.0675 |
| 5c 공분산·\(\rho\) | Cov = E[XY] − E[X]E[Y] | Cov = −0.30, \(\rho \approx\) −0.296 |
| 5d 총수요 | Var[X+Y] = VX+VY+2Cov | E = 3.35, Var = 1.4275 |
| 6 Q1 | z = (X−\(\mu\))/\(\sigma\) | \(\approx\) 4.75% |
| 6 Q2 | P → z → x | \(\approx\) 28,500원 |
| 6 Q3 | D = X − 2Y | \(\approx\) 0.0901 |
| 6 Q4 | P(A\(\cup\)B) = P(A)+P(B)−P(A\(\cap\)B) | 0.75 |
| 7 Q1 | SD[\(\bar{X}\)] = \(\sigma\)/\(\sqrt{n}\) | SE=2, 0.62%, 98.76% |
| 7 Q2 | SD[\(\bar{p}\)] = \(\sqrt{p(1-p)/n}\) | 0.0497 / 0.0357 |
5가지 절대 잊지 말 공식
- 베이즈: P(원인|결과) = P(원인)·P(결과|원인) / P(결과)
- 분산 단축식: Var[X] = E[X²] − (E[X])²
- 두 변수 분산: Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y] + 2Cov[X,Y]
- 표본평균: E[\(\bar{X}\)] = \(\mu\), SD[\(\bar{X}\)] = \(\sigma\)/\(\sqrt{n}\)
- 표본비율: E[\(\bar{p}\)] = p, SD[\(\bar{p}\)] = \(\sqrt{p(1-p)/n}\)
식을 외우는 게 아니라 식이 말하는 풍경을 외우세요.
"표본 크기가 늘면 폭이 좁아진다"는 한 줄이, 다섯 식을 다 살려요.
1. 변수에 이름 붙이기 (X, Y, D 같은 것).
2. 어떤 분포인지 적기 (정규? 결합? 이산?).
3. 평균·분산·표준편차 줄긋기.
4. 표준화 → 표 → 답.
마지막 마음가짐
이 연습문제 1번을 끝까지 따라왔다면, 4 ~ 7장 핵심을 손에 다 쥔 거예요.
시험장에서는 식보다 그림, 그림보다 의미를 떠올려 보세요.
"평균에서 얼마나 떨어졌나?", "둘이 같이 움직이나, 따로 움직이나?", "표본은 모집단을 얼마나 정확히 따라갈까?" — 답은 모두 식 안에 있어요.
— 연습문제 1, 풀이 끝 —