Numerical Descriptive Measures
숫자로 요약하기 — 데이터의 중심과 퍼짐, 그리고 모양
지난주엔 그림으로 데이터를 봤어요. 이번엔 숫자로 말해볼게요.
평균·중앙값·표준편차 — 이 친구들이 데이터의 성격을 콕 집어줘요.
수식보다 이야기가 먼저, 계산은 나중. 천천히 따라와 보세요.
여는 글 · 숫자 한 개의 힘
친구가 묻습니다. "이번 시험, 어땠어?" 30명의 점수를 다 말해야 할까요? 아니죠. 한마디면 돼요.
"우리 반 평균 78점이야." 숫자 하나로 분위기가 전해져요. 데이터 한 무더기를 대표 숫자로 줄이는 것. 이게 오늘 수업이에요.
지난주엔 표와 그래프를 그렸어요. 보는 요약이었죠. 오늘은 말하는 요약. 평균, 중앙값, 표준편차 같은 친구들이 데이터의 중심과 퍼짐을 한 숫자로 알려줘요.
① 중심은 어디인가 — 평균 · 중앙값 · 최빈값
② 얼마나 퍼졌나 — 범위 · 분산 · 표준편차
③ 어떻게 생겼나 — 왜도 · 상자그림
④ 두 변수의 관계 — 공분산 · 상관계수
왜 숫자 요약일까
히스토그램은 예뻐요. 그런데 친구에게 전화로 설명할 땐 어떻게 하죠? 이메일에 그림을 못 넣을 때는요? 숫자 요약이 필요해집니다.
체격을 말해 보세요.
"키 172cm, 몸무게 68kg." 두 숫자면 사람 체격이 대충 그려져요. 데이터도 똑같아요. 중심 한 개 + 퍼짐 한 개면 성격이 잡혀요.
① Central Tendency (중심경향): 데이터가 어디 모여 있나
② Variation (산포): 중심에서 얼마나 흩어졌나
③ Shape (모양): 대칭인가, 한쪽으로 쏠렸나
이 세 가지만 알면 데이터의 지문이 완성돼요. 같은 평균이어도 퍼짐이 다르면 다른 이야기. 같은 퍼짐이어도 모양이 다르면 또 다른 이야기가 됩니다.
중심 · 퍼짐 · 모양.
숫자 요약의 삼위일체.
중심경향 삼총사
데이터가 어디에 모여 있는지를 한 숫자로 말하고 싶어요. 후보는 셋이에요. 평균, 중앙값, 최빈값. 쓰임새가 조금씩 달라요.
세 친구를 카페에서 만나면…
· 평균은 꼼꼼한 회계사. 다 더해서 나눠요.
· 중앙값은 줄 세우기 선생님. 가운데 선 사람을 고릅니다.
· 최빈값은 인기투표 진행자. 제일 많이 뽑힌 선택을 알려줘요.
평균 Mean — 가장 친숙한 중심
평균은 모두 더해 개수로 나눈 값. 초등학교부터 써온 친구죠. 통계에서는 산술평균(arithmetic mean)이라 부릅니다.
표본 \(n\)개 값을 모두 더한 뒤 \(n\)으로 나눠요. 기호는 \(\bar{X}\).
\(\Sigma\)(시그마)는 "다 더해라"는 신호. \(i\)는 1부터 \(n\)까지 도는 번호예요. 식은 무섭게 생겼지만 하는 일은 단순합니다.
예시 · 다섯 친구의 용돈
친구 다섯 명의 용돈이 이렇대요 (단위: 만원).
평균 용돈은 5만원이에요. 쉽죠?
평균의 약점 · 극단값에 흔들린다
같은 다섯 명인데 한 명이 부자라 용돈 100만원을 받는다고 해봐요.
3, 5, 4, 6, 100 → 평균 = 118/5 = 23.6만원.
나머지 4명은 7만원도 안 받는데, 평균은 23.6? 이상하죠.
시소 타기로 비유하면…
평균은 시소의 균형점이에요. 한쪽 끝에 무거운 사람 한 명만 앉아도 균형점이 그쪽으로 확 쏠려요. 극단값 하나가 평균을 끌고 갑니다.
모집단 전체의 평균. 기호는 \(\mu\), 개수는 \(N\). 계산법은 같아요.
식은 똑같아 보여요. 차이는 누구를 재는가. 표본이면 \(\bar{X}\), 모집단이면 \(\mu\). 우리가 실제로 계산하는 건 거의 \(\bar{X}\)예요. \(\mu\)는 짐작의 대상이거든요.
중앙값 Median — 줄의 한가운데
평균이 극단값에 흔들린다면, 중앙값은 끄떡없어요. 그냥 줄 세워서 가운데 서 있는 사람을 뽑거든요.
데이터를 작은 순서로 정렬한 뒤, 정중앙 위치의 값을 고릅니다. 왼쪽에 절반, 오른쪽에 절반이 있도록요.
홀수 개일 때
\(n\)이 홀수면 정가운데가 딱 있어요. 위치는 \(\frac{n+1}{2}\) 번째.
위치 = \((5+1)/2 = 3\)번째 → 중앙값 = 5.
짝수 개일 때
\(n\)이 짝수면 가운데가 둘. 이 둘의 평균을 써요.
가운데 두 값은 5와 6 → 중앙값 = \((5+6)/2 =\) 5.5.
왜 중앙값이 강할까
원래 데이터: 3, 4, 5, 6, 7 → 중앙값 = 5
부자 등장: 3, 4, 5, 6, 100 → 중앙값 = 5!
끝 값이 100이든 1,000,000이든 중앙값은 안 바뀌어요.
출근길 지하철로 비유해볼까요.
키 순서대로 줄 섰을 때, 가운데 사람 키가 중앙값. 앞에 농구선수 한 명이 더 서도, 뒤쪽 가운데 사람은 그대로예요. 극단값이 있어도 버틴다 — 이게 중앙값의 장점이에요.
소득, 집값, 인세 수입처럼 한쪽으로 크게 치우친 데이터. 뉴스에서 "중위소득"이 평균소득 대신 쓰이는 이유예요.
최빈값 Mode — 가장 많이 나온 값
평균도 중앙값도 수치형에서만 쓸 수 있어요. 최빈값은 달라요. 가장 많이 등장한 값이면 되니까 범주형에도 써요.
빈도가 제일 높은 값. 사람이 많이 뽑은 선택지, 신발 사이즈, 가장 많이 팔린 색깔. 인기투표의 1등이에요.
예시 · 신발 가게
하루 팔린 운동화 사이즈가 이렇다고 해봐요.
260이 세 번 등장. 최빈값 = 260. 가게 주인은 "260 재고를 더 준비해야겠다"고 결정하겠죠.
최빈값의 특징
없을 수도 있다
모든 값이 한 번씩만 나오면 최빈값이 없어요. "1, 2, 3, 4, 5" → 최빈값 없음.
여럿일 수도 있다
동률 1위가 둘이면 둘 다 최빈값. 이런 분포를 이봉분포라 불러요.
"혈액형 A, B, O, AB" 같은 범주형은 평균이나 중앙값을 못 구해요. 평균 혈액형이 뭐겠어요? 이때 유일한 중심 지표가 최빈값이에요.
편의점 베스트셀러.
진열대 앞에 서서 "제일 잘 나가는 걸로 주세요." 하면, 알바생이 고르는 게 최빈값. 자주 팔리는 그 하나를 집어줘요.
오른쪽 꼬리(right-skewed) 분포에서는 보통 최빈값 < 중앙값 < 평균 순서. 왼쪽 꼬리면 반대. 대칭이면 셋이 거의 같아요.
기하평균 Geometric Mean
산술평균은 덧셈 세계의 평균이에요. 그런데 성장률이나 수익률처럼 곱셈으로 누적되는 값엔 어울리지 않아요. 이럴 때 쓰는 게 기하평균입니다.
n개 값의 곱을 구한 뒤, n제곱근을 취한 값이에요.
예시 · 주식 수익률
어느 주식의 3년간 수익률이 +50%, −50%, +20%였어요. 산술평균으로 하면 (50 − 50 + 20)/3 = +6.7%. 좋아 보이죠.
100만원을 투자했다면:
1년차 → 150만원, 2년차 → 75만원, 3년차 → 90만원.
결국 10만원 손실이에요. 평균이 +6.7%인데 손실?
수익률 기하평균 \(= (1.50 \times 0.50 \times 1.20)^{1/3} - 1\) \(\approx 0.9655 - 1 =\) \(-3.45\%\). 실제 감각과 맞아요!
이자는 곱해서 불어난다.
오늘 번 돈이 내일의 밑천이 돼요. 100 → 150이면 1.5배. 곱셈으로 쌓이는 세상엔 곱셈의 평균이 어울려요. 이게 기하평균이에요.
사분위수 Quartiles — 4등분 지점
중앙값이 데이터를 반반으로 나눈다면, 사분위수는 네 등분이에요. 3개 지점을 찍어요.
\(Q_1\) (1사분위수)
아래에서 25% 위치. "하위 1/4"을 가른 값이에요.
\(Q_2\) (2사분위수)
중앙값과 같은 자리. 50% 위치.
\(Q_3\) (3사분위수)
아래에서 75% 위치. "상위 1/4"을 가른 값이에요.
위치 공식
\(Q_1 = \frac{n+1}{4}\) 번째
\(Q_2 = \frac{n+1}{2}\) 번째
\(Q_3 = \frac{3(n+1)}{4}\) 번째
예시 · 9개의 값
- \(Q_1\) 위치 = \((9+1)/4 = 2.5\)번째 → 2번째와 3번째의 평균
\((12+13)/2 =\) 12.5 - \(Q_2\) 위치 = \((9+1)/2 = 5\)번째 → 값 16
- \(Q_3\) 위치 = \(3(9+1)/4 = 7.5\)번째 → \((18+21)/2 =\) 19.5
위치가 정수면 그 자리 값. 소수면 앞뒤 두 값의 평균(보간)을 써요. 교재마다 약속이 조금 달라요. 이 수업은 이 약속을 따릅니다.
피자 네 조각.
피자를 네 조각으로 자르면 칼자국이 세 개 생기죠. Q1, Q2, Q3가 바로 그 세 자국이에요. 각 조각엔 데이터가 25%씩 들어요.
산포 · 범위와 IQR
이제 "어디 모였나"에서 "얼마나 퍼졌나"로 넘어가요. 같은 평균이어도 퍼짐이 다르면 전혀 다른 데이터거든요.
같은 키, 다른 반.
A반 평균 170, 모두 168~172. 뭉쳐 있어요.
B반 평균 170, 그런데 150부터 190까지. 들쭉날쭉.
평균은 같지만, 두 반은 전혀 다른 모습이죠.
Range · 범위
가장 간단한 퍼짐 지표. 끝과 끝의 거리만 봐요.
앞의 예시(11~22)에선 범위 = \(22 - 11 =\) 11. 계산은 쉽지만, 가운데 값들이 어떻든 무시하니까 정보 손실이 커요.
극단값 한 명이 범위 전체를 좌우해요. "{1, 2, 3, 4, 100}"의 범위는 99지만, 사실 데이터의 95%는 1~4 사이에 몰려 있잖아요.
IQR · 사분위 범위
가운데 50%가 사는 구간의 길이. 끝 25%씩 잘라버리고 중앙부만 봐요.
앞의 예시: IQR = \(19.5 - 12.5 =\) 7. 범위(11)보다 작죠. 극단값의 영향을 덜 받아서 내구성이 좋아요.
"중간 50%의 폭" 또는 "내구 범위(resistant range)"라고도 불러요. 상자그림(boxplot)의 상자 길이가 바로 IQR이에요.
분산과 표준편차
범위와 IQR은 끝값 중심이에요. 이번엔 모든 값이 평균에서 얼마나 떨어졌나를 재요. 여기서 주인공이 표준편차입니다.
아이디어 · 평균에서의 거리
우리 집에서의 거리.
평균을 "우리 집"이라고 해요. 데이터 하나하나는 친구들의 집. 평균 얼마나 떨어져 사는지 다 재서 평균을 내면 되지 않을까요? 좋은 생각이에요. 다만 한 가지 문제가 있어요.
단순 편차 \((X_i - \bar{X})\)를 그냥 더하면 항상 0이 나와요. 평균의 정의가 원래 그래요. 양의 편차와 음의 편차가 서로 상쇄돼요. 그래서 제곱을 해서 음수를 없애버립니다.
"절댓값은 왜 안 쓰죠?" — 좋은 질문이에요. 절댓값도 써요(평균절대편차). 다만 제곱은 큰 편차에 더 큰 가중치를 줘서 "튀는 값"을 더 예민하게 잡아내요. 수학적으로도 다루기 편해요.
각 값에서 평균을 뺀 제곱의 합을 \(n-1\)로 나눈 값.
분산에 제곱근을 씌운 값. 단위가 원래대로 돌아와요.
왜 \(n\)이 아니라 \(n-1\)?
표본으로 모평균을 짐작할 때, \(\bar{X}\)을 이미 썼기 때문에 한 칸을 양보해야 해요. 남은 자유로운 칸이 \(n-1\)개. 이걸 자유도라 해요. \(n-1\)로 나눠야 모분산의 불편추정량이 됩니다.
손으로 계산해보기
데이터: 2, 4, 6, 8, 10 (\(n=5\)). 평균 \(\bar{X} = 30/5 = 6\).
| \(X_i\) | \(X_i - \bar{X}\) | \((X_i - \bar{X})^2\) |
|---|---|---|
| 2 | −4 | 16 |
| 4 | −2 | 4 |
| 6 | 0 | 0 |
| 8 | 2 | 4 |
| 10 | 4 | 16 |
| 합 | 0 | 40 |
"평균 6에서 평균적으로 약 3.16만큼 떨어져 있다." 이게 표준편차의 뜻이에요.
모집단 분산 · 모집단 표준편차
모집단 전체를 다루면 분모가 \(N\)이에요.
표본 → \(S^2\), \(S\) · \(\bar{X}\) · \(n-1\)
모집단 → \(\sigma^2\), \(\sigma\) · \(\mu\) · \(N\)
단위가 살아 돌아오는 마법.
키 데이터의 분산 단위는 \(\text{cm}^2\). 이건 넓이처럼 들려 어색해요. 제곱근을 씌우면 단위가 다시 cm로 돌아옵니다. 그래서 표준편차 \((S)\)가 분산보다 해석이 쉬워요.
변동계수 CV — 단위를 지워요
주식 A의 표준편차 1,000원. 편의점 상품 B의 표준편차 100원. A가 더 변동이 클까요? 그건 가격이 얼마냐에 따라 다르죠.
퍼짐을 평균 대비 비율(%)로 바꾼 지표. 단위가 지워지기 때문에 서로 다른 단위 데이터도 비교할 수 있어요.
예시 · 두 주식 비교
| 종목 | 평균 가격 | 표준편차 | CV |
|---|---|---|---|
| 주식 A | 50,000원 | 5,000원 | 10% |
| 주식 B | 500원 | 100원 | 20% |
표준편차만 보면 A(5,000)가 훨씬 더 크게 변동해요. 그런데 가격 대비로 보면 B가 더 변동이 커요(20% vs 10%). 이게 CV가 필요한 이유예요.
코끼리와 개미의 몸무게 변화.
코끼리가 10kg 빠지고, 개미가 0.1g 빠졌다면요? kg으로 비교하면 코끼리가 압도적. 그런데 몸무게 대비 %로 보면 개미가 훨씬 큰 변화예요. CV는 바로 이런 상대적 변동을 재요.
Z-점수 — 나의 위치는 어디인가
내 시험 점수 85점. 잘 본 걸까요? 평균과 표준편차가 있어야 답해요. \(Z\)-점수는 "평균에서 표준편차 몇 개 떨어져 있나"를 알려줍니다.
원래 값에서 평균을 빼고, 표준편차로 나눈 값이에요. 양수면 평균 위, 음수면 평균 아래를 뜻해요.
예시 · 두 과목의 점수
국어 85점(평균 70, 표준편차 10). 수학 85점(평균 80, 표준편차 5). 같은 85점인데 어느 쪽이 더 잘 본 걸까요?
국어가 상대적으로 더 잘 본 거예요. 평균에서 \(1.5\sigma\) 위니까요. 수학은 \(1.0\sigma\) 위. 단순히 같은 85점이 아니에요.
이상치 판정
\(|Z| > 3\)이면 이상치(outlier)로 의심해요. 평균에서 표준편차 3개 이상 떨어진 값은 흔치 않거든요. 이 경계는 데이터 검증, 품질 관리에서 많이 써요.
반 키 순위 대신 "몇 \(\sigma\) 위냐".
친구 키 180cm만 봐선 감이 안 와요. 그런데 "평균보다 표준편차 1.2개 위"라고 하면 정확히 위치가 잡히죠. \(Z\)는 객관적인 자예요.
분포의 모양 — 왜도 Skewness
중심과 퍼짐을 봤으니, 마지막 퍼즐은 모양이에요. 데이터가 좌우 대칭일까? 한쪽으로 쏠려 있을까?
세 가지 모양
Skewness · 왜도
왼쪽 꼬리 (Left / Negative)
왼쪽으로 꼬리가 길게 뻗음. 평균이 중앙값보다 아래로 끌려가요. 예: 대학 졸업 학점 (보통 높은 쪽에 몰림).
오른쪽 꼬리 (Right / Positive)
오른쪽으로 꼬리가 길게 뻗음. 평균이 중앙값보다 위로 끌려가요. 예: 소득, 집값.
평균 > 중앙값 → 오른쪽으로 쏠림 (positive skew).
평균 < 중앙값 → 왼쪽으로 쏠림 (negative skew).
평균 \(\approx\) 중앙값 → 대칭.
꼬리가 있는 쪽으로 평균이 끌려갑니다.
꼬리가 평균을 끌고 간다.
분포를 고무줄이라고 생각해봐요. 한쪽에 끝이 길게 나 있으면 그 무게가 평균을 그쪽으로 잡아당겨요. 중앙값은 개수 기준이라 안 끌려가요. 그래서 두 값 차이로 쏠림을 알 수 있어요.
경험법칙 · 체비쇼프의 규칙
평균과 표준편차를 알면, 데이터가 어느 구간에 얼마나 있는지 짐작할 수 있어요. 분포가 종 모양이면 경험법칙, 아무 모양이나면 체비쇼프.
경험법칙 (68-95-99.7 법칙)
분포가 좌우대칭 종 모양일 때 쓰는 손쉬운 규칙이에요.
"정규분포를 근사적으로 따른다고 볼 수 있을 때" 쓰기 때문에 Normal Approximation이라고도 불러요.
| 구간 | 포함 비율 |
|---|---|
| \(\mu \pm 1\sigma\) | 약 68% |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | 약 95% |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | 약 99.7% |
경험법칙 써먹기 · 키 데이터
성인 남성 키가 종 모양으로 \(\mu = 173\)cm, \(\sigma = 6\)cm라고 해봐요.
- 약 68%는 \(173 \pm 6\), 즉 167~179cm.
- 약 95%는 \(173 \pm 12\), 즉 161~185cm.
- 약 99.7%는 \(173 \pm 18\), 즉 155~191cm.
평균과 표준편차 두 개만으로 어디에 얼마나 있을지 그림이 그려져요. 이게 경험법칙의 힘이에요.
체비쇼프의 규칙
분포 모양을 몰라도 쓸 수 있는 안전한 하한선. \(k > 1\)일 때 \(\mu \pm k\sigma\) 안에 최소 \((1 - 1/k^2) \times 100\%\) 가 있어요.
| \(k\) | 구간 | 경험법칙 | 체비쇼프 |
|---|---|---|---|
| 2 | \(\mu \pm 2\sigma\) | \(\approx 95\%\) | \(\ge 75\%\) |
| 3 | \(\mu \pm 3\sigma\) | \(\approx 99.7\%\) | \(\ge 88.9\%\) |
| 4 | \(\mu \pm 4\sigma\) | \(\approx 99.99\%\) | \(\ge 93.75\%\) |
종 모양이면 경험법칙이 훨씬 좋은 값(95%). 모양을 모를 땐 체비쇼프(\(\ge 75\%\))가 안전한 하한선이에요. "적어도 75%는 있다"는 보장이죠. 느슨하지만 항상 맞아요.
| 경험법칙 | 체비쇼프 | |
|---|---|---|
| 전제 | 종 모양(정규) 근사 | 모양 무관 (어떤 분포든) |
| 값의 성격 | 근사 비율 (\(\approx\)) | 최소 비율 (\(\ge\)) |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | \(\approx 95\%\) | \(\ge 75\%\) |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | \(\approx 99.7\%\) | \(\ge 88.9\%\) |
| 정확도 | 높음 (조건 맞을 때) | 느슨 (항상 성립) |
날씨 예보와 우산 챙기기.
맑음이 확실할 땐(정규분포) "강수확률 5%"라고 말해요. 모르겠을 땐(아무 분포) "강수확률 50% 이상"이라고 보수적으로 말하죠. 체비쇼프는 그런 안전빵이에요.
다섯수 요약 · 상자그림
다섯 개 숫자만 있으면 분포의 전체 모습이 그려져요. 최솟값, \(Q_1\), 중앙값, \(Q_3\), 최댓값. 이걸 다섯수 요약이라 합니다.
\(X_{\min}\) · \(Q_1\) · Median · \(Q_3\) · \(X_{\max}\). 이 다섯으로 중심·퍼짐·대칭성까지 추측할 수 있어요.
예시 · 9개 값의 다섯수 요약
| \(X_{\min}\) | \(Q_1\) | Median | \(Q_3\) | \(X_{\max}\) |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 12.5 | 16 | 19.5 | 22 |
상자그림(Boxplot) 그리기
상자 가운데 선 = 중앙값.
상자 폭 = IQR (가운데 50%).
수염 끝 = 최솟값 / 최댓값 (또는 \(1.5 \times\) IQR 범위).
상자가 중앙값에서 좌우 균형이면 대칭, 한쪽이 길면 그쪽으로 쏠림.
이상치 판정 (\(1.5 \times\) IQR 규칙)
상자그림에서 이상치는 이렇게 찾아요.
이 범위 밖의 값은 점으로 따로 찍어 이상치로 표시합니다. "누가 튀어나왔는지" 한눈에 보여요.
상자그림은 데이터의 X-ray.
히스토그램은 몸 전체 사진이라면, 상자그림은 뼈대 사진. 중심·퍼짐·대칭성·이상치를 한 장에 담아 보여줘요. 여러 그룹을 나란히 비교할 때 특히 강력해요.
공분산과 상관계수
지금까진 변수 하나의 성격을 봤어요. 이번엔 두 변수의 관계를 숫자로 말해봅니다. 키와 몸무게, 공부시간과 성적처럼요.
여기선 감만 잡아요. 공분산과 상관계수가 무엇을 재는지, 부호와 크기가 뭘 뜻하는지까지. 회귀분석·추론 같은 본격 활용은 4강(확률분포) 이후에 다시 만나요.
두 변수 관계 재기 · Measures of Association
한 변수가 커질 때 다른 변수도 같이 커지는가? 이 "함께 움직임"을 숫자로 잡는 게 목표예요. 두 도구가 있어요 — 공분산과 상관계수.
공분산 · Covariance
\(X\)가 평균보다 클 때 \(Y\)도 클까? 둘의 편차를 곱해서 평균 내요. 부호가 관계 방향을, 크기가 강도를 알려줍니다.
\(\text{cov} > 0\)
함께 늘고 함께 준다. 양의 관계. 예: 공부시간 ↑ → 성적 ↑.
\(\text{cov} < 0\)
한쪽이 늘면 다른 쪽은 준다. 음의 관계. 예: 운동시간 ↑ → 체지방 ↓.
예시 · 공부시간과 성적
다섯 명의 공부시간(\(X\), 시간)과 시험점수(\(Y\), 점)를 모았어요.
| 학생 | \(X\) (시간) | \(Y\) (점수) | \(X-\bar{X}\) | \(Y-\bar{Y}\) | \((X-\bar{X})(Y-\bar{Y})\) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 60 | −2 | −12 | 24 |
| B | 3 | 65 | −1 | −7 | 7 |
| C | 4 | 72 | 0 | 0 | 0 |
| D | 5 | 80 | 1 | 8 | 8 |
| E | 6 | 83 | 2 | 11 | 22 |
| 합 | 20 | 360 | 0 | 0 | 61 |
\(\bar{X} = 20/5 =\) 4시간, \(\bar{Y} = 360/5 =\) 72점.
부호가 양수 → 공부시간과 성적이 함께 오르는 관계예요. 숫자 15.25 자체는 단위 탓에 크기 감이 잘 안 와요.
단위에 휘둘려요. 위 예에서 시간을 분(minute)으로 바꾸면 \(\text{cov}\)가 60배로 뻥튀기돼요. 같은 관계인데 숫자가 달라지니, "얼마나 강한지" 판단이 어려워요.
또 키(cm)\(\times\)몸무게(kg)처럼 단위 조합이 이상해져요 — cm\(\cdot\)kg은 상상하기 힘든 단위죠. 이 문제를 상관계수가 해결해줍니다.
상관계수 · Correlation Coefficient
공분산을 두 변수 표준편차의 곱으로 나눈 값. 단위가 사라지고, 항상 \(-1 \le r \le +1\).
| \(|r|\) | 해석 |
|---|---|
| 0.9 ~ 1.0 | 매우 강한 관계 |
| 0.7 ~ 0.9 | 강한 관계 |
| 0.4 ~ 0.7 | 중간 관계 |
| 0.2 ~ 0.4 | 약한 관계 |
| 0.0 ~ 0.2 | 거의 없음 |
아이스크림 판매량과 익사 사고 수는 상관이 높아요. 아이스크림이 익사를 부르나요? 아니죠. 숨은 원인은 여름. 상관은 함께 움직인다는 관찰일 뿐, 원인-결과는 아니에요.
춤추는 두 사람.
\(r\)이 \(+1\)이면 손 잡고 같은 방향으로 딱 맞춰 움직이는 커플. \(-1\)이면 서로 반대 방향으로 거울춤. \(0\)이면 따로 제각각. 상관계수는 그 호흡의 일치도를 \(-1 \sim +1\)로 재요.
맺는 글
지난주엔 데이터를 눈으로 봤어요. 오늘은 숫자로 말하는 법을 배웠습니다.
평균이 시소의 균형점이라면, 중앙값은 줄의 한가운데. 표준편차는 우리 집에서 얼마나 떨어졌는지의 평균. 상관계수는 두 사람의 호흡.
오늘의 장면 요약
- 중심 — 평균 · 중앙값 · 최빈값 · 기하평균
- 퍼짐 — 범위 · IQR · 분산 · 표준편차 · CV
- 위치 — \(Z\)-점수, \(|Z|>3\) 이면 이상치 의심
- 구간 해석 — 경험법칙(68-95-99.7) · 체비쇼프
- 다섯수 요약과 상자그림 — 한 장에 분포 전체
- 관계 — 공분산(방향) · 상관계수(방향+강도)
- 모양 — 평균과 중앙값 비교로 왜도 판정
실전 치트시트
| 상황 | 추천 지표 |
|---|---|
| 대칭 분포의 중심 | 평균 (\(\bar{X}\)) |
| 치우친 분포의 중심 | 중앙값 |
| 범주형 데이터의 중심 | 최빈값 |
| 성장률 · 수익률의 중심 | 기하평균 |
| 단위가 다른 두 변수 비교 | 변동계수 (CV) |
| 한 값의 상대 위치 | \(Z\)-점수 |
| 두 변수의 관계 강도 | 상관계수 \(r\) |
| 분포 전체 한 장 요약 | 상자그림 |
다음 주 예고
지금까지는 이미 가진 데이터를 정리했어요. 다음 주엔 시선이 바뀝니다. 아직 일어나지 않은 일을 숫자로 말해볼 거예요. 동전 던지기, 주사위, 그리고 확률의 법칙들.
오늘의 마음가짐
숫자 하나로 세상을 줄이는 일. 때론 위험해요.
평균만 믿으면 놓치는 게 많습니다. 중심 하나, 퍼짐 하나.
두 숫자를 나란히 놓아야 데이터가 진짜 얼굴을 보여줘요.
— 2강, 마침 —