BIT500 · Management Statistical Analysis
연습문제 2 풀이 노트 — CI와 가설 검정의 모든 것
7강(신뢰구간)부터 8강(가설 검정)까지를 한 번에 점검하는 종합 문제예요.
Q1~Q6를 한 문제씩, 식과 그림과 직관을 함께 따라가요.
그러면 시험장에서 똑같이 풀 수 있어요.
시작하며 · 이 페이지를 활용하는 법
이 페이지는 강의 PDF의 "CI_HT_problems - Korean"을 풀이하는 곳이에요. 교수님이 직접 만들어 주신 6개의 종합 연습문제로, 신뢰구간 → 가설 검정의 흐름을 한 번에 익힐 수 있어요.
Q1 — 한 비율의 CI와 양측/단측 가설 검정.
Q2 — 한 평균의 SE, 다양한 신뢰수준, 양측/단측 검정 + 실무 권고.
Q3 — CI · z-값 · p-값 3가지 방법으로 결론 도출.
Q4 — 한 비율 + 두 비율 차이 + 양측/단측 (가장 복잡).
Q5 — 두 평균 비교 (\(\sigma\) 알고 있고, 표본 독립).
Q6 — 짝 표본 — D = X − Y 변환의 진수.
① 문제를 먼저 한번 읽고,
② 풀이 단계를 따라가며 손으로 적어보고,
③ 시험 답안 박스에서 깔끔하게 정리하기.
외우지 말고, 한 줄씩 따라가 보세요.
그러면 어떤 문제든 같은 5단계로 풀려요.
kaistshop 구매 확률, 정말 2%일까?
kaistshop.com에 들어온 방문자 중 구매로 이어질 확률을 p라고 해요. 무작위로 900명을 관찰했더니 그 중 27명이 실제로 구매했어요.
(a) p의 95% 신뢰구간을 구하세요.
(b) \(\alpha\) = 5%에서 p \(\ne\) 2%라는 증거가 충분한가?
(c) \(\alpha\) = 5%에서 p > 2%라는 증거가 충분한가?
0단계 · 기호 정리
표본비율 \(\hat{p}\) = 0.03. "표본에서 구매 비율은 3%였다"는 거예요.
(a) 95% 신뢰구간
비율의 신뢰구간 공식은 이렇게 생겼어요.
한 사람이 구매할 확률이 \(p\)일 때, 한 번 방문의 결과는 베르누이 분포 — 평균 \(p\), 분산 \(p(1-p)\).
900명을 평균낸 \(\hat{p}\)의 분산은 \(p(1-p)/n\) (분산 가법성). 표준편차(=SE)는 그 제곱근 \(\sqrt{p(1-p)/n}\).
진짜 \(p\)를 모르니까 표본에서 본 \(\hat{p}\)을 대신 넣어요. 이게 SE 공식의 정체.
① SE 계산 — \(\hat{p}\)이 평균적으로 진짜 \(p\)에서 얼마나 떨어져 있는지의 척도예요.
SE = \(\sqrt{0.03 \times 0.97 / 900}\) — 분자에 \(\hat{p}(1-\hat{p})\) = 0.0291을 두고, \(n\) = 900으로 나눠요.
= \(\sqrt{0.0291/900}\) = \(\sqrt{0.0000323}\) \(\approx\) 0.005686.
해석: 표본비율 \(\hat{p}\) = 3%는 진짜 \(p\)에서 평균 약 0.57%p 정도 떨어져 있을 거라는 뜻이에요.
② 오차범위 ME — SE에 임계값을 곱해 "95% 확률로 들어갈 폭"으로 변환.
표준정규분포 \(N(0,1)\)에서 가운데 95%가 들어가는 양쪽 경계가 \(\pm 1.96\). 양 끝 꼬리에 각각 2.5%씩 남겨두는 위치예요.
90%면 1.645, 99%면 2.576. 신뢰수준이 높을수록 임계값이 커지고, ME가 넓어집니다.
ME = 1.96 × 0.005686 \(\approx\) 0.01115 (= 약 1.115%p)
③ CI — 표본비율 좌우로 ME만큼 펼친 구간이 신뢰구간.
왜 ± (양쪽으로): 진짜 \(p\)가 \(\hat{p}\)보다 클 수도, 작을 수도 있으니 좌우 대칭으로 펼쳐요.
0.03 − 0.01115 = 0.01885 \(\approx\) 0.0189 (하한)
0.03 + 0.01115 = 0.04115 \(\approx\) 0.0411 (상한)
→ [0.0189, 0.0411] 즉 약 [1.89%, 4.11%].
95% 신뢰구간 \(\approx\) [0.0189, 0.0411].
해석: 진짜 구매 비율 \(p\)가 약 95% 확률로 이 구간 안에 있어요. (정확한 해석: 같은 절차로 표본 100번 뽑아 CI 100개 만들면 약 95개가 진짜 \(p\)를 포함.)
(b) 양측 검정 · p \(\ne\) 2%
① 가설:
\(H_0\) : p = 0.02 vs \(H_1\) : p \(\ne\) 0.02
우리가 증명하고 싶은 것은 항상 \(H_1\)(대립가설)에 둬요. 문제가 "p ≠ 2%라는 증거가 충분한가"를 묻고 있으니 \(H_1\): p ≠ 2%.
\(H_0\)(귀무가설)는 그 반대 — "p가 정확히 2%". 일단 이게 참이라고 가정하고, 표본이 얼마나 "이상한" 결과인지를 확률로 봅니다.
② SE under \(H_0\) — H₀가 참이라 가정하면 진짜 \(p\) = 0.02. 그래서 SE 공식의 분자 \(p(1-p)\)에 0.02를 넣어요.
(a)의 CI에서는 진짜 \(p\)를 모르니까 \(\hat{p}\) = 0.03 사용.
(b)의 H.T.에서는 \(H_0\)이 참이라 가정하니까 그 가정값 \(p\) = 0.02 사용. 가정의 일관성을 지키는 거죠.
그래서 같은 데이터에 두 SE가 달라요 — CI는 0.005686, H.T.는 0.004667.
\(SE_{H_0}\) = \(\sqrt{0.02 \times 0.98 / 900}\) = \(\sqrt{0.0196/900}\) = \(\sqrt{0.0000218} \approx\) 0.004667
③ z-값 — 관측값 \(\hat{p}\)이 H₀의 \(p\)에서 SE 단위로 몇 칸 떨어졌는지.
z = (관측 − 가설) / SE = (0.03 − 0.02) / 0.004667 = 0.01 / 0.004667 \(\approx\) 2.143
해석: 우리 표본은 \(H_0\)에서 약 2.14 표준오차만큼 떨어져 있어요. "흔한 거리"라기엔 좀 멀어요.
④ p-값 (양측) — "\(H_0\)가 참인 세상"에서 관측만큼 또는 더 극단적인 값이 나올 확률.
P(Z > 2.143) \(\approx\) 0.0162 (오른쪽 꼬리만)
양측 검정은 \(H_1\)이 "≠"(다르다) — 즉 위로 멀어지든 아래로 멀어지든 둘 다 \(H_0\) 반박 증거. 그래서 양쪽 꼬리를 모두 세어야 해요.
표준정규분포는 대칭이라 양쪽 꼬리 면적이 같으니 한 쪽 × 2.
p-값 = 0.0162 × 2 \(\approx\) 0.0324.
양측이라 양쪽 꼬리를 모두 더함. 한쪽만 보는 단측보다 정확히 2배.
⑤ 결론: 0.0324 < 0.05 = \(\alpha\) → Reject \(H_0\).
해석: \(H_0\)이 참이라면 우리 표본 같은 결과가 약 3.24% 확률로 나옵니다 — 5% 기준선보다 작아서 "흔치 않다"고 판단. \(H_0\) 기각.
유의수준 5%에서 p \(\ne\) 2%라는 증거가 충분해요. 진짜 구매 비율이 2%가 아니라고 결론 가능.
(c) 단측 검정 · p > 2%
① 가설:
\(H_0\) : p \(\le\) 0.02 vs \(H_1\) : p > 0.02 (오른쪽 단측)
"\(p\)가 2%보다 큰지"가 우리 관심이니 \(H_1\): \(p\) > 0.02. 그러면 \(H_0\)는 그 반대 영역 — \(p\) ≤ 0.02 전체.
실제 z 계산은 \(H_0\) 경계값 \(p\) = 0.02에서 합니다. 가장 \(H_1\)에 가까운 경계가 가장 "보수적인 검정" 조건이라서요.
② z-값: \(H_0\) 경계값(0.02)에서 SE를 계산하면 (b)와 똑같음. z \(\approx\) 2.143.
③ p-값 (단측) — \(H_1\)이 한 방향(>)이라 한쪽 꼬리만 봄.
\(H_1\): \(p\) > 0.02 — 오른쪽으로 멀어지는 것만 \(H_0\) 반박 증거. 왼쪽(p < 0.02)으로 빠지는 건 \(H_0\)에 부합하는 결과예요.
그래서 오른쪽 꼬리 면적만 p-값. 양측의 절반이 됩니다.
p-값 = P(Z > 2.143) \(\approx\) 0.0162.
단측은 \(H_1\) 방향(여기선 p > 0.02 = 오른쪽)만 셈. 양측의 정확히 ½.
④ 결론: 0.0162 < 0.05 = \(\alpha\) → Reject \(H_0\).
유의수준 5%에서 p > 2%라는 증거가 충분해요. 진짜 구매 비율이 2%보다 크다고 결론 가능.
양측 = 0.0324, 단측 = 0.0162. 단측이 정확히 절반이에요. (방향이 맞을 때!)
두 검정 모두 \(H_0\)를 기각하지만, 단측이 더 "강한 증거"로 보여요. 그래서 단측을 쓰려면 미리 방향이 정해져 있어야 해요. 데이터 보고 단측으로 바꾸면 안 돼요!
| 소문제 | 핵심 수치 | 결론 |
|---|---|---|
| (a) 95% CI | \(\hat{p} = 0.03\), SE \(\approx\) 0.005686, ME \(\approx\) 0.01115 | [1.89%, 4.11%] |
| (b) 양측 \(\ne\) 2% | z \(\approx\) 2.14, p-값 \(\approx\) 0.0324 | 5%에서 Reject \(H_0\) — 2%가 아님 |
| (c) 단측 > 2% | z \(\approx\) 2.14, p-값 \(\approx\) 0.0162 | 5%에서 Reject \(H_0\) — 2%보다 큼 |
주의 포인트: (a)의 95% CI에는 2%가 안 들어가는 게 아니지만, (b)의 양측 검정은 SE 계산에 \(H_0\)의 \(p = 0.02\)를 써서 더 정확함. 그래서 결론은 H.T.를 따름.
ATM 인출액, 작년보다 늘었을까?
KAIST 캠퍼스 ATM의 1인당 평균 인출액을 추정하고 싶어요. 어제 사용한 50명의 표본 평균이 \(\bar{X}\) = 45,000원. 모집단 표준편차는 \(\sigma\) = 12,000원으로 알려져 있어요.
(a) 평균의 표준 오차를 구하세요.
(b) 90%, 95%, 99% 신뢰구간을 구하세요.
(c) 작년 평균 42,000원이 맞지 않다는 증거를 1%·5%·10% 모두에서 검정하세요.
(d) 실제 평균이 42,000원 보다 크다는 증거를 같은 세 유의수준에서 검정하고, 권고사항을 적으세요.
(a) 표준오차 SE
표본평균 \(\bar{X}\)의 흔들림 크기를 SE로 표현해요.
모집단에서 한 사람을 뽑으면 그 사람 인출액은 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)로 흔들려요. 그런데 50명을 뽑아 평균을 낸 \(\bar{X}\)는 훨씬 안정적이에요.
분산 가법성: \(\mathrm{Var}[\bar{X}] = \sigma^2 / n\). 표준편차는 그 제곱근 → \(\sigma/\sqrt{n}\).
표본을 키울수록(\(n\) ↑) SE는 \(\sqrt{n}\) 비율로 작아져요. 더 많은 사람을 보면 평균이 진짜 모평균에 더 가까워지는 거죠.
해석: 50명을 뽑아 만든 표본평균은 진짜 모평균에서 평균 약 1,697원 정도 떨어져 있을 거예요.
(b) 90% · 95% · 99% 신뢰구간
공식: \(\bar{X} \pm z_{\alpha/2}\) · SE
표준정규분포의 가운데에 90%가 들어가는 구간 — 양 끝 5%씩 자르는 위치가 \(\pm 1.645\).
95%면 양 끝 2.5%씩 → \(\pm 1.96\). 99%면 양 끝 0.5%씩 → \(\pm 2.576\).
신뢰수준 ↑ = 양 끝을 더 좁게 잘라야 함 = z가 더 큼 = 구간이 더 넓어짐. "확실하게 잡고 싶을수록 그물을 넓게".
이제 한 행씩 풀어볼게요 — 90% CI 계산을 예시로:
- ME = 1.645 × 1,697 ≈ 2,792원 (오차범위)
- 하한 = 45,000 − 2,792 = 42,208원
- 상한 = 45,000 + 2,792 = 47,792원
- → 90% CI = [42,208, 47,792]
95%·99%도 같은 방식, z값만 바꿔요.
| 신뢰수준 | \(z_{\alpha/2}\) | 오차범위 ME | CI |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 1.645 × 1,697 \(\approx\) 2,792 | [42,208 , 47,792] |
| 95% | 1.96 | 1.96 × 1,697 \(\approx\) 3,326 | [41,674 , 48,326] |
| 99% | 2.576 | 2.576 × 1,697 \(\approx\) 4,371 | [40,629 , 49,371] |
42,000은 90% CI에는 안 들어가지만 95%·99% CI에는 들어감. (c)·(d)의 결론 차이가 여기서 시작.
신뢰수준이 올라갈수록 CI가 넓어져요. 90% → 99%로 가면서 폭이 약 5,584 → 8,742로 늘어났죠.
왜 작년 평균 42,000원과의 관계가 미묘? 42,000은 90% CI(42,208~)에는 살짝 안 들어가지만, 95%·99% CI에는 들어가요. 이게 (c)에서 신뢰수준별로 결론이 갈리는 이유의 복선.
(c) 양측 검정 · \(\mu \ne\) 42,000
① 가설: \(H_0 : \mu\) = 42,000 vs \(H_1 : \mu \ne\) 42,000
증명하고 싶은 것: "올해 평균이 42,000과 다른가" → \(H_1\)에 넣음.
② z-값 — 관측 평균 45,000이 가설 평균 42,000에서 SE 단위로 얼마나 떨어졌나.
z = (관측 − 가설) / SE = (45,000 − 42,000) / 1,697 = 3,000 / 1,697 \(\approx\) 1.768
해석: 약 1.77 SE 떨어짐. 임계값(95% 양측: 1.96)보다 살짝 작아서 5%에서는 모자라요.
③ p-값 (양측) — \(H_0\) 참이라고 가정했을 때, 우리 표본만큼 또는 더 극단으로 떨어진 결과가 나올 확률.
한쪽 꼬리: P(Z > 1.768) \(\approx\) 0.0386.
양측이라 양쪽 꼬리 합 = 0.0386 × 2 \(\approx\) 0.0772.
④ 결론 (세 유의수준 비교): 같은 p-값이라도 \(\alpha\) 기준선이 다르면 결론이 갈려요.
| \(\alpha\) | 비교 | 결론 |
|---|---|---|
| 10% | 0.0772 < 0.10 | Reject \(H_0\) |
| 5% | 0.0772 > 0.05 | Fail to Reject \(H_0\) |
| 1% | 0.0772 > 0.01 | Fail to Reject \(H_0\) |
유의수준 10%에서만 \(H_0\)를 버릴 만한 증거예요. 5%, 1%에서는 부족해요.
z=1.768은 1.645는 넘지만(10% 기각) 1.96·2.576은 못 넘음(5%·1% 보류). 임계값과 z의 위치 비교로 한눈에 결론.
CI 결과와 일관성 체크: 90% CI에는 42,000이 안 들어감 → 10%에서 기각 (일치). 95%·99% CI에는 들어감 → 5%·1%에서 보류 (일치). CI ↔ H.T. 두 도구가 같은 결론을 줍니다.
(d) 단측 검정 · \(\mu\) > 42,000
① 가설: \(H_0 : \mu \le\) 42,000 vs \(H_1 : \mu\) > 42,000
경영지원팀의 진짜 관심: "작년보다 늘었나? (= 42,000보다 큰가?)" — 한 방향이므로 단측.
② z-값: \(H_0\)의 경계값(42,000)에서 표준화하니 (c)와 같음. z \(\approx\) 1.768.
③ p-값 (단측): 한 방향만 보는 거라 ×2 안 함.
p-값 = P(Z > 1.768) \(\approx\) 0.0386 (양측의 정확히 절반).
④ 결론 (세 유의수준):
| \(\alpha\) | 비교 | 결론 |
|---|---|---|
| 10% | 0.0386 < 0.10 | Reject \(H_0\) |
| 5% | 0.0386 < 0.05 | Reject \(H_0\) |
| 1% | 0.0386 > 0.01 | Fail to Reject \(H_0\) |
일반적으로 쓰는 유의수준 5%에서, "실제 인출액이 42,000원보다 크다"는 통계적으로 유의한 증거가 발견됐어요.
→ ATM의 일일 준비금액을 현 수준에서 늘리는 방향으로 조정하는 것을 검토해야 해요.
단, 매우 엄격한 1% 기준에서는 증거가 아직 부족해요. 추가 데이터 수집 후 재검정도 좋아요.
| 소문제 | 핵심 수치 | 결과 |
|---|---|---|
| (a) SE | \(\sigma/\sqrt{n} = 12{,}000/\sqrt{50}\) | ≈ 1,697원 |
| (b) 90% CI | 1.645 × 1,697 ≈ 2,792 | [42,208, 47,792] |
| (b) 95% CI | 1.96 × 1,697 ≈ 3,326 | [41,674, 48,326] |
| (b) 99% CI | 2.576 × 1,697 ≈ 4,371 | [40,629, 49,371] |
| (c) 양측 \(\mu \ne\) 42,000 | z ≈ 1.768, p ≈ 0.0772 | 10%만 기각 / 5%·1% 보류 |
| (d) 단측 \(\mu >\) 42,000 | z ≈ 1.768, p ≈ 0.0386 | 10%·5% 기각 / 1% 보류 |
실무 권고: 5%에서 단측 검정이 기각되므로 ATM 일일 준비 금액 상향 조정 검토.
GS25 생수 — 세 가지 방법으로 검정해요
GS25 주인이 일일 생수 수요를 추정해요. 지난 100일 총 판매량 150,000병, 모집단 표준편차 \(\sigma\) = 397병/일.
(a) 표본평균과 SE를 구하세요.
(b) 90%, 95%, 99% CI를 구하세요.
(c) 실제 평균이 1,425병이라는 가설을 1%·5%·10%에서 검정하세요. 세 방법(p-값, z-값, CI) 모두 써서.
(d) CI만 사용해서 실제 평균이 1,580병이라는 가설을 1%·5%·10%에서 검정하고, p-값에 대해 추론하세요.
(a) 표본평균과 SE
표본평균은 총량을 개수로 나눠요. "100일 동안 총 150,000병"이니까 하루 평균 = 150,000 / 100 = 1,500병.
표준오차는 Q2와 같은 공식. \(\sigma\)가 알려져 있으니 \(\sigma/\sqrt{n}\) 그대로 사용.
해석: 100일 평균 1,500병이 진짜 모평균에서 평균 약 39.7병 정도 떨어져 있을 거예요. SE가 작아서 정밀한 추정 가능.
(b) 90% · 95% · 99% CI
공식은 Q2와 동일 — \(\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot SE\). 표본평균 1,500 중심으로 ME만큼 펼친 구간.
| 신뢰수준 | \(z_{\alpha/2}\) | ME | CI |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 1.645 × 39.7 \(\approx\) 65.3 | [1,434.7 , 1,565.3] |
| 95% | 1.96 | 1.96 × 39.7 \(\approx\) 77.8 | [1,422.2 , 1,577.8] |
| 99% | 2.576 | 2.576 × 39.7 \(\approx\) 102.3 | [1,397.7 , 1,602.3] |
예시로 90%: 1,500 − 65.3 = 1,434.7 (하한), 1,500 + 65.3 = 1,565.3 (상한).
(c) \(\mu\) = 1,425? — 세 방법으로
p-값, z-값, CI는 결국 같은 부등식을 다르게 표현한 것뿐이에요.
예: \(\alpha\) = 0.05 양측 검정에서 — "p-값 < 0.05" ⇔ "|z| > 1.96" ⇔ "1,425가 95% CI에 안 들어감". 셋 다 같은 의미.
한 방법으로 풀어도 충분하지만, Q3는 세 도구의 동등성을 시각적으로 보여주는 연습.
① 가설: \(H_0 : \mu\) = 1,425 vs \(H_1 : \mu \ne\) 1,425 (양측, 방향 무관)
② z-값: 관측 1,500이 가설 1,425에서 SE 단위로 얼마나 떨어졌나.
z = (1,500 − 1,425) / 39.7 = 75 / 39.7 \(\approx\) 1.889
③ p-값 (양측): H₀ 참 가정 시 1.889 SE 이상 떨어진 결과가 나올 확률.
한쪽 꼬리 P(Z > 1.889) \(\approx\) 0.0294. 양측이라 × 2 \(\approx\) 0.0588.
방법 1 · p-값 비교
| \(\alpha\) | 비교 | 결론 |
|---|---|---|
| 10% | 0.0588 < 0.10 | Reject \(H_0\) |
| 5% | 0.0588 > 0.05 | Fail to Reject |
| 1% | 0.0588 > 0.01 | Fail to Reject |
방법 2 · z-값 비교 (기각 영역)
양측 검정에서 z의 절댓값이 임계값보다 크면 기각.
| \(\alpha\) | \(z_{\alpha/2}\) | |z| 비교 | 결론 |
|---|---|---|---|
| 10% | 1.645 | 1.889 > 1.645 | Reject \(H_0\) |
| 5% | 1.96 | 1.889 < 1.96 | Fail to Reject |
| 1% | 2.576 | 1.889 < 2.576 | Fail to Reject |
방법 3 · CI에 1,425가 들어 있나?
| \(\alpha\) | CI | 1,425 포함? | 결론 |
|---|---|---|---|
| 10% | [1,434.7, 1,565.3] | 안 들어감 ❌ | Reject \(H_0\) |
| 5% | [1,422.2, 1,577.8] | 들어감 ✓ | Fail to Reject |
| 1% | [1,397.7, 1,602.3] | 들어감 ✓ | Fail to Reject |
세 방법 모두 같은 답을 줘요. 10%에서만 기각, 5%와 1%에서는 보류.
당연한 일이에요. 셋은 똑같은 검정의 다른 표현이거든요. 어느 방법을 써도 OK.
(d) \(\mu\) = 1,580? — CI만 사용
| \(\alpha\) | CI | 1,580 포함? | 결론 |
|---|---|---|---|
| 10% | [1,434.7, 1,565.3] | 안 들어감 ❌ | Reject \(H_0\) |
| 5% | [1,422.2, 1,577.8] | 안 들어감 ❌ | Reject \(H_0\) |
| 1% | [1,397.7, 1,602.3] | 들어감 ✓ | Fail to Reject |
5%에서는 기각, 1%에서는 보류!
5%에서 기각 = p < 0.05.
1%에서 fail to reject = p \(\ge\) 0.01.
따라서 0.01 \(\le\) p-값 < 0.05. (실제로 계산하면 p \(\approx\) 0.0438.)
이렇게 CI 결과들만으로도 p-값의 대략적인 범위를 추론할 수 있어요. 멋지죠?
| 소문제 | 핵심 수치 | 결과 |
|---|---|---|
| (a) \(\bar{X}\), SE | 150,000/100 = 1,500; 397/√100 = 39.7 | 1,500 / 39.7 |
| (b) 90% CI | ME ≈ 65.3 | [1,434.7, 1,565.3] |
| (b) 95% CI | ME ≈ 77.8 | [1,422.2, 1,577.8] |
| (b) 99% CI | ME ≈ 102.3 | [1,397.7, 1,602.3] |
| (c) \(\mu\) = 1,425? | z ≈ 1.889, p ≈ 0.0588 (양측) | 10%만 Reject / 5%·1% 보류 (세 방법 동일) |
| (d) \(\mu\) = 1,580? | CI만으로 | 10%·5% Reject / 1% 보류 → \(0.01 \le p < 0.05\) |
(c) 핵심: p-값·z-값·CI 세 방법 모두 같은 결론. (d) 응용: 여러 신뢰수준 CI만 비교해도 p-값 범위 추론 가능.
한식 vs 양식 — 한 비율과 두 비율의 종합 검정
KAIST 서울캠퍼스 학생식당 운영팀이 점심 메뉴 선호도를 조사. 학생 850명 중 485명이 한식 선호. 나머지(=365명)는 양식 선호.
(a) 양식 선호 비율의 90%·95%·99% CI.
(b) 양식 선호 비율이 40%가 아니라는 증거(\(\alpha\)=5%, 양측).
(c) 양식 선호 비율이 40%보다 크다는 증거(\(\alpha\)=5%, 단측).
(d) 대전캠퍼스 620명 중 237명이 양식 선호. 두 그룹 선호도가 "한눈에 봐도" 다른가?
(e) 두 비율 차이의 90%·95%·99% CI. 이 CI로 어떻게 판단?
(f) 양측 H.T. (서울 \(\ne\) 대전, \(\alpha\)=5%).
(g) 단측 H.T. (대전 < 서울, \(\alpha\)=5%).
0단계 · 기호 정리
대전: \(n_D\) = 620, 양식 = 237, \(\hat{p}_{D}\) = 237/620 \(\approx\) 0.3823 (38.23%)
(a) 양식 선호 비율의 CI (서울)
비율 CI라 Q1과 같은 공식 — \(\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\). 진짜 \(p\)를 모르니 SE 공식에 \(\hat{p}\) = 0.4294 사용.
SE 계산을 한 단계씩 풀어보면:
- \(\hat{p}(1-\hat{p})\) = 0.4294 × 0.5706 = 0.2451 (베르누이 분산)
- ÷ \(n\) = 0.2451 / 850 = 0.000288 (표본평균의 분산)
- √ = √0.000288 \(\approx\) 0.01697 (표본평균의 표준오차)
| 신뢰수준 | z | ME | CI |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 0.0279 | [0.4015, 0.4573] |
| 95% | 1.96 | 0.0333 | [0.3961, 0.4627] |
| 99% | 2.576 | 0.0437 | [0.3857, 0.4731] |
(b) p \(\ne\) 40%? — 양측 H.T.
① 가설: \(H_0\) : p = 0.40 vs \(H_1\) : p \(\ne\) 0.40
② SE under \(H_0\): \(\sqrt{0.40 \times 0.60 / 850}\) = \(\sqrt{0.24/850} \approx\) 0.01681
③ z-값: (0.4294 − 0.40) / 0.01681 \(\approx\) 1.749
④ p-값(양측): 2 × P(Z > 1.749) \(\approx\) 2 × 0.0401 \(\approx\) 0.0802
⑤ 결론: 0.0802 > 0.05 → Fail to Reject.
5%에서 양식 비율이 정확히 40%가 아니라는 증거가 충분하지 않아요. 40%일 가능성을 부정 못 함.
(c) p > 40%? — 단측 H.T.
① 가설: \(H_0\) : p \(\le\) 0.40 vs \(H_1\) : p > 0.40
② z-값: 1.749 (같음).
③ p-값(단측): P(Z > 1.749) \(\approx\) 0.0401.
④ 결론: 0.0401 < 0.05 → Reject \(H_0\)!
5%에서 양식 비율이 40%보다 크다는 증거 충분! 단측 검정에서는 결론이 달라지죠.
같은 데이터인데, (b)에서는 보류, (c)에서는 기각. 왜?
단측 검정은 "한 방향만" 보니까 같은 신호가 더 강한 증거로 인정돼요. 그래서 방향을 미리 정해 놓을 때만 단측을 써야 해요. 데이터 보고 단측으로 바꾸는 건 반칙!
(d) 한눈에 비교 — 서울 vs 대전
서울 42.94% vs 대전 38.23%. 차이 약 4.7%p.
4.7%p 차이가 있긴 한데, 학생 수가 1,470명 정도라 우연으로도 충분히 나올 만한 차이인지 통계로 따져봐야 해요. (e)~(g)에서 검증.
(e) 두 비율 차이의 CI
두 표본이 서로 독립이면 차이 \(\hat{p}_S - \hat{p}_D\)의 분산 = \(\mathrm{Var}[\hat{p}_S] + \mathrm{Var}[\hat{p}_D]\) (독립이라 부호 무관).
표준편차(SE)는 그 제곱근 — \(\sqrt{\hat{p}_S(1-\hat{p}_S)/n_S + \hat{p}_D(1-\hat{p}_D)/n_D}\).
핵심: 각각의 분산을 더하고 √을 씌우는 것. 두 SE를 그냥 더하는 게 아니에요.
두 비율 차이 = 0.4294 − 0.3823 = 0.0471 (점추정).
SE (CI용, 분리 추정):
\(\text{SE} = \sqrt{\hat{p}_S(1-\hat{p}_S)/n_S + \hat{p}_D(1-\hat{p}_D)/n_D}\)
한 단계씩:
- 서울 분산 항 (이미 (a)에서): 0.000288
- 대전 분산 항: 0.3823 × 0.6177 / 620 = 0.2362 / 620 \(\approx\) 0.000381
- 두 분산 합: 0.000288 + 0.000381 = 0.000669
- √ → SE \(\approx\) 0.02586
| 신뢰수준 | ME | CI | 0 포함? |
|---|---|---|---|
| 90% | 0.0425 | [0.0046, 0.0896] | 안 들어감 ❌ |
| 95% | 0.0507 | [−0.0036, 0.0978] | 들어감 ✓ |
| 99% | 0.0666 | [−0.0195, 0.1137] | 들어감 ✓ |
90% CI에는 0이 안 들어가요 → 10% 수준에서는 두 비율이 다르다는 신호.
95%·99% CI에는 0이 들어가요 → 5%·1% 수준에서는 차이를 입증 못 함.
즉 "통계적으로 분명히 다르다"고 단언하기엔 증거가 살짝 부족해요. 신뢰수준에 따라 결론이 갈리는 미묘한 경우.
(f) 양측 검정 · \(p_S \ne p_D\)?
\(H_0 : p_S = p_D\) 즉 "두 집단의 진짜 비율이 같다"고 가정한 상태에서 검정. 그러면 \(p_S = p_D = p\) (어떤 하나의 \(p\)).
이 \(p\)는 모르지만, "전체 양식 선호자 합 / 전체 표본"으로 추정 가능 — 그게 pooled \(\bar{p}\).
(e) CI에서는 "두 모비율이 같다"는 가정이 없어서 분리 추정 (각각 \(\hat{p}_S, \hat{p}_D\)). H.T.와 SE 공식이 다른 이유.
① pooled \(\bar{p}\) — 두 집단을 합쳐서 보면 "전체 학생 중 양식 선호자 비율".
\(\bar{p}\) = (365 + 237) / (850 + 620) = 602 / 1,470 \(\approx\) 0.4095
② SE (pooled): 두 집단 모두 같은 \(p = \bar{p}\)라 가정. 분산은 \(\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_S + 1/n_D)\).
한 단계씩:
- \(\bar{p}(1-\bar{p})\) = 0.4095 × 0.5905 = 0.2418
- \(1/n_S + 1/n_D\) = 1/850 + 1/620 = 0.001176 + 0.001613 = 0.002789
- 곱: 0.2418 × 0.002789 = 0.000674
- √: SE \(\approx\) 0.02597
③ z-값: 차이 0.0471이 SE 단위로 몇 칸 떨어졌나.
z = 0.0471 / 0.02597 \(\approx\) 1.814
④ p-값 (양측): 한쪽 꼬리 P(Z > 1.814) \(\approx\) 0.0349. 양측이라 × 2 \(\approx\) 0.0698.
⑤ 결론: 0.0698 > 0.05 → Fail to Reject.
5%에서 두 캠퍼스 양식 선호 비율이 다르다는 증거 부족. 같다고 봐도 무방.
(g) 단측 검정 · \(p_D\) < \(p_S\)?
"대전이 서울보다 작다" = "(\(p_S\) − \(p_D\)) > 0".
① 가설: \(H_0 : p_S\) − \(p_D \le\) 0 vs \(H_1 : p_S\) − \(p_D\) > 0
② z-값: 1.814 (같음).
③ p-값 (단측): P(Z > 1.814) \(\approx\) 0.0349.
④ 결론: 0.0349 < 0.05 → Reject \(H_0\)!
5%에서 대전 캠퍼스가 서울보다 양식 선호 비율이 더 작다는 증거 충분.
| 소문제 | 핵심 수치 | 결과 |
|---|---|---|
| (a) 서울 양식 비율 90% CI | \(\hat{p}_S = 0.4294\), SE ≈ 0.01697 | [0.4015, 0.4573] |
| (a) 95% CI | — | [0.3961, 0.4627] |
| (a) 99% CI | — | [0.3857, 0.4731] |
| (b) 양측 p \(\ne\) 40% | z ≈ 1.749, p ≈ 0.0802 | 5%에서 Fail to Reject |
| (c) 단측 p > 40% | z ≈ 1.749, p ≈ 0.0401 | 5%에서 Reject \(H_0\) |
| (d) 한눈 비교 | 4.7%p 차이 | 통계 검정 필요한 미묘한 차이 |
| (e) 두 비율 차 95% CI | SE ≈ 0.02586 | [−0.0036, 0.0978], 0 포함 → 차이 단언 불가 |
| (f) 양측 \(p_S \ne p_D\) | pooled \(\bar{p}\)=0.4095, z≈1.814, p≈0.0698 | 5%에서 Fail to Reject |
| (g) 단측 \(p_S > p_D\) | z≈1.814, p≈0.0349 | 5%에서 Reject \(H_0\) |
두 가지 큰 교훈: ① (b)와 (c)처럼 양측·단측 결론이 갈리는 미묘한 영역 — 단측은 사전 방향이 있어야만. ② (e)·(f)·(g) — 두 비율 비교의 CI(분리 SE)와 H.T.(pooled SE)는 SE 계산이 다름.
KAIST vs B대학 — 두 평균의 비교
KAIST 식당(X): 500명 표본, \(\bar{X}\) = 255,200원, \(\sigma_X\) = 78,500.
B대학 식당(Y): 500명 표본, \(\bar{Y}\) = 242,800원, \(\sigma_Y\) = 94,700.
두 표본은 독립.
(a) \(\mu_{X}\) − \(\mu_{Y}\)의 90%·95%·99% CI.
(b) 차이 \(\ne\) 0이라는 증거 (\(\alpha\)=1%, 양측).
(c) 차이 > 0이라는 증거 (\(\alpha\)=1%, 단측).
0단계 · SE 계산
두 표본이 독립이라 차이 \(\bar{X} - \bar{Y}\)의 분산은 각 표본평균의 분산을 더한 것 — \(\sigma_X^2/n_X + \sigma_Y^2/n_Y\).
표준편차(=SE)는 그 √. 비율 차의 SE랑 구조가 같죠 — 분산 합 후 √.
주의: \(\sigma\)들을 그냥 더하면 안 됩니다. \(\sigma^2\)을 더하고 √을 씌워야.
한 단계씩 풀어봐요:
- \(\sigma^2_X / n_X\) = 78,500² / 500 = 6,162,250,000 / 500 = 12,324,500
- \(\sigma^2_Y / n_Y\) = 94,700² / 500 = 8,968,090,000 / 500 = 17,936,180
- 두 분산 합: 12,324,500 + 17,936,180 = 30,260,680
- SE = √30,260,680 \(\approx\) 5,501원
점추정 — 두 표본평균의 차이: \(\bar{X}\) − \(\bar{Y}\) = 255,200 − 242,800 = 12,400원.
해석: KAIST가 평균 12,400원 더 많은데, 그게 진짜 차이인지 단순한 표본 변동인지 SE(5,501원)와 비교해 판단.
(a) 차이의 CI
| 신뢰수준 | z | ME | CI |
|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 9,049 | [3,351 , 21,449] |
| 95% | 1.96 | 10,782 | [1,618 , 23,182] |
| 99% | 2.576 | 14,171 | [−1,771 , 26,571] |
(b) 양측 검정 · 차이 \(\ne\) 0?
① 가설: \(H_0 : \mu_{X}\) − \(\mu_{Y}\) = 0 vs \(H_1 : \mu_{X}\) − \(\mu_{Y} \ne\) 0
② z-값: 12,400 / 5,501 \(\approx\) 2.254
③ p-값 (양측): 2 × P(Z > 2.254) \(\approx\) 2 × 0.0121 \(\approx\) 0.0242
④ 결론: 0.0242 > 0.01 = \(\alpha\) → Fail to Reject.
1% 유의수준에서 두 평균이 다르다는 증거가 충분하지 않아요. (5%에서라면 기각될 만한 수준이지만 1%는 엄격함.)
CI로 봐도 99% CI = [−1,771, 26,571]에 0이 들어가요 → 같은 결론!
(c) 단측 검정 · 차이 > 0?
① 가설: \(H_0 : \mu_{X}\) − \(\mu_{Y} \le\) 0 vs \(H_1 : \mu_{X}\) − \(\mu_{Y}\) > 0
② z-값: 2.254 (같음).
③ p-값 (단측): P(Z > 2.254) \(\approx\) 0.0121.
④ 결론: 0.0121 > 0.01 = \(\alpha\) → Fail to Reject.
1%에서도 KAIST 식비가 B대학 식비보다 크다는 증거가 충분하지 않아요. 매우 엄격한 기준에서는 부족.
양측 p=0.0242, 단측 p=0.0121. 둘 다 5%에서는 명백히 기각될 텐데, 1%에서는 둘 다 보류.
α를 어떻게 잡느냐가 검정의 결론을 좌우해요. 분야의 관행을 따르되, 자기 결론에 책임을 져야 해요.
| 소문제 | 핵심 수치 | 결과 |
|---|---|---|
| SE 사전 계산 | √(78,500²/500 + 94,700²/500) | ≈ 5,501원 |
| 표본 평균 차 | 255,200 − 242,800 | 12,400원 |
| (a) 90% CI | ME ≈ 9,049 | [3,351, 21,449] |
| (a) 95% CI | ME ≈ 10,782 | [1,618, 23,182] |
| (a) 99% CI | ME ≈ 14,171 | [−1,771, 26,571] (0 포함!) |
| (b) 양측 차 \(\ne\) 0 | z ≈ 2.254, p ≈ 0.0242 | 1%에서 Fail to Reject (5%면 기각될 수치) |
| (c) 단측 차 > 0 | z ≈ 2.254, p ≈ 0.0121 | 1%에서 Fail to Reject (5%면 기각될 수치) |
α 기준선의 위력: 같은 z=2.254라도 5%에서는 기각, 1%에서는 둘 다 보류 — 의학·임상처럼 엄격한 기준에서는 더 강한 증거가 필요.
본관 vs 기타 식당 — 짝 표본의 정석
같은 학생 500명에게 한 달간 두 가지 식당 지출을 조사.
본관(X): \(\bar{X}\) = 298,100, \(S_X\) = 63,100
기타(Y): \(\bar{Y}\) = 289,200, \(S_Y\) = 49,400
각 학생의 차이 D = X − Y의 표본 표준편차 \(S_D\) = 88,700.
(a) 두 지출 평균 차이 \(\ne\) 0이라는 증거 (\(\alpha\)=1%, 양측).
(b) 두 지출 평균 차이 < 0이라는 증거 (\(\alpha\)=1%, 단측).
같은 학생의 본관 지출과 기타 지출은 그 사람의 소득·식습관·취향을 공유해요. 두 측정이 서로 묶여 있죠.
그래서 Q5처럼 "독립 두 평균"으로 처리하면 안 돼요. 대신 D = X − Y를 만들어 한 표본 문제로 바꿔서 풀어요.
0단계 · D의 통계량
같은 사람의 X와 Y는 강한 상관관계가 있어서 독립 가정으로 풀면 SE를 잘못 추정해요. 해결법: 각 사람마다 차이 \(D_i = X_i - Y_i\)를 만들어 새 변수로 보기.
이렇게 만든 \(D_1, D_2, \ldots, D_n\)은 500개의 일반 표본 — 한 표본 평균 검정 문제로 줄어듭니다.
가설도 평균 차이가 아니라 "\(D\)의 평균 \(\mu_D\)"로 표현 — \(\mu_D = \mu_X - \mu_Y\)이라 결과는 같음.
\(\bar{D}\) — 차이의 표본평균. 같은 사람들의 \(X - Y\)를 평균낸 값.
\(\bar{D} = \bar{X} - \bar{Y}\) = 298,100 − 289,200 = 8,900원
\(S_D\) = 88,700 (문제에서 주어짐).
\(S_X\), \(S_Y\)를 알아도 \(S_D\)는 계산할 수 없어요. 차이 \(D\)의 분산에는 X와 Y의 공분산이 들어가는데 그건 별도 측정값이거든요.
\(S_D^2 = S_X^2 + S_Y^2 - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y)\). Cov를 모르니 \(S_D\)도 못 구함. 그래서 문제가 직접 주는 것.
\(SE_{\bar{D}}\) — 표본 차이 평균 \(\bar{D}\)의 표준오차. Q2·Q3와 같은 공식 (\(S/\sqrt{n}\)).
\(SE_{\bar{D}} = S_D / \sqrt{n}\) = 88,700 / √500 = 88,700 / 22.36 \(\approx\) 3,966원
(a) 양측 검정 · \(\mu_{D} \ne\) 0?
① 가설: \(H_0 : \mu_{D}\) = 0 vs \(H_1 : \mu_{D} \ne\) 0
"평균 차이가 0이 아니다 = 두 지출 평균이 다르다"가 \(H_1\). 한 표본 검정으로 푸니까 가설도 단순해짐.
② z-값: 차이 평균이 0에서 SE 단위로 몇 칸 떨어졌나.
z = (\(\bar{D}\) − 0) / SE = 8,900 / 3,966 \(\approx\) 2.244
③ p-값 (양측): 한쪽 꼬리 P(Z > 2.244) \(\approx\) 0.0125. 양측이라 × 2 \(\approx\) 0.0250.
④ 결론: 0.0250 > 0.01 = \(\alpha\) → Fail to Reject.
해석: 1% 기준에서는 두 지출이 다르다는 증거 부족. 5% 기준이었다면 기각될 수치 (0.0250 < 0.05).
1%에서 두 지출 평균이 다르다는 증거 부족. (5%에서라면 기각될 만한 수준.)
(b) 단측 검정 · \(\mu_{D}\) < 0?
① 가설: \(H_0 : \mu_{D} \ge\) 0 vs \(H_1 : \mu_{D}\) < 0 (왼쪽 단측)
잠깐, 이상한데? \(\bar{D}\) = 8,900으로 양수잖아요. \(H_1\)이 "음수"를 주장하는데 데이터는 양수.
왼쪽 단측 검정의 p-값은 "Z가 관측보다 작을 확률" — 관측이 양수 쪽으로 가버렸으니 면적이 거의 1. 절대 기각 불가.
② z-값: 2.244. → 의심하던 방향(왼쪽)과 반대 방향!
③ p-값 (왼쪽 단측): P(Z < 2.244) \(\approx\) 0.9875 (거의 1!)
④ 결론: 0.9875 ≫ 0.01 → Fail to Reject.
1%에서 본관 지출이 기타 지출보다 작다는 증거 전혀 없어요. 오히려 본관 지출이 더 큰 방향으로 데이터가 나왔거든요!
\(\bar{X}\)=298,100, \(\bar{Y}\)=289,200. 본관이 더 커요. 그런데 \(H_1\): 본관 < 기타 라는 단측을 세웠으면? p-값이 0.5보다 크게 나와요.
이건 단측 검정에서 흔히 발생하는 함정이에요. 8강 11장에서 본 그 상황!
"\(\bar{X}\)이 \(H_1\)이 가리키는 방향과 반대로 빠지면" → 의심할 이유 전혀 없음 → 무조건 fail to reject.
독립 vs 짝 — 같은 문제를 다르게 풀면?
만약 같은 데이터를 Q5처럼 "독립"으로 풀었으면 SE가 어떻게 다를까요? 비교용으로 잠깐 계산해봐요.
SE(독립 가정) = \(\sqrt{63,100²/500 + 49,400²/500}\) = \(\sqrt{7,963,220 + 4,880,720} \approx \sqrt{12{,}843{,}940} \approx\) 3,584
실제 짝 SE = 3,966.
이번 문제에서는 X와 Y가 양의 상관이라(같은 사람이 두 식당 다 많이 쓰는 경향) 짝 SE가 독립 SE보다 살짝 커요.
일반적으로는 짝 표본 SE가 더 작은 경우가 많은데, 그건 짝 사이에 차이의 변동이 더 적기 때문이에요. (예: 다이어트 전후 같은 사람 체중 비교.)
핵심: 짝과 독립은 SE 계산 자체가 달라요. 데이터의 구조에 맞는 방법을 골라야 정확한 결론을 얻어요.
| 소문제 | 핵심 수치 | 결과 |
|---|---|---|
| D 통계량 | \(\bar{D}\) = 8,900, \(S_D\) = 88,700, SE = 88,700/√500 | SE ≈ 3,966원 |
| (a) 양측 \(\mu_D \ne\) 0 | z ≈ 2.244, p ≈ 0.0250 | 1%에서 Fail to Reject |
| (b) 단측 \(\mu_D <\) 0 | z ≈ 2.244 (양수!), p ≈ 0.9875 | 전혀 기각 못 함 — 데이터가 \(H_1\) 반대 방향 |
(b)의 함정: 표본 차이 \(\bar{D}\) = 8,900으로 양수인데 \(H_1\)이 "음수"를 주장하면 데이터가 \(H_1\)에 반대 방향. p-값이 0.5보다 크게 나와 어떤 α에서도 기각 불가. 단측 방향을 데이터 보기 전에 정해야 하는 이유.
짝 vs 독립 비교: 같은 데이터를 독립으로 계산하면 SE ≈ 3,584, 실제 짝 SE = 3,966. 두 방식이 다른 SE를 줌 → 데이터 구조 (같은 사람 두 번 측정인가?)에 맞는 공식 선택이 정답률 좌우.
맺으며 · CI와 H.T.의 종합 정리
Q1부터 Q6까지, 우리는 CI와 H.T.의 다양한 얼굴을 만났어요. 한 비율, 한 평균, 두 비율, 두 평균, 짝 표본까지. 양측과 단측, 그리고 세 가지 기각 방법.
외워야 할 것이 많아 보이지만, 핵심은 사실 단순해요. "내가 가진 추정값이 \(H_0\)에서 얼마나 떨어졌는가"를 표준오차 단위로 측정하고, 그 거리가 얼마나 희귀한지를 z-표에서 읽으면 끝.
오늘의 한 문장 요약
| 문제 | 유형 | SE 공식 | 결정적 트릭 |
|---|---|---|---|
| Q1 | 한 비율 CI + H.T. | \(\sqrt{p(1-p)/n}\) | CI는 \(\hat{p}\), H.T.는 p₀ |
| Q2 | 한 평균 H.T. | \(\sigma/\sqrt{n}\) | 3가지 \(\alpha\) 동시 검정 |
| Q3 | 한 평균 (3방법) | \(\sigma/\sqrt{n}\) | p-값 · z-값 · CI 모두 같은 결론 |
| Q4 | 두 비율 비교 | pooled \(\bar{p}\) 사용 | H.T.에선 pooled, CI에선 분리 |
| Q5 | 두 평균 (독립) | \(\sqrt{\sigma_X^2/n_X + \sigma_Y^2/n_Y}\) | 두 분산을 더한 뒤 제곱근 |
| Q6 | 짝 표본 | \(S_D/\sqrt{n}\) | D 만들어 한 표본 문제로 |
시험 직전에 기억할 5가지
- 비율 CI는 SE에 \(\hat{p}\), 비율 H.T.는 SE에 \(H_0\)의 p.
- 두 비율 H.T.는 pooled \(\bar{p}\) 만들기 잊지 말기.
- 짝 표본은 SE에 \(S_D\) (X와 Y 표준편차 따로 안 씀).
- 양측 p-값 = 2 × 단측 p-값 (방향이 맞을 때만).
- 단측 검정에서 \(\bar{X}\)이 \(H_1\) 반대로 빠지면 → p-값이 0.5보다 큼 → Fail to Reject 확정.
마지막 마음가짐
통계 추론은 결국 "겸손함의 언어"예요.
모른다는 사실을 모른 척하지 않고, 그 모름을 정직한 숫자로 적는 일.
그러니 CI도, p-값도, α도 — 모두 우리가 세상에 던지는 정직한 답이에요.
— 연습문제 2, 끝 —